[ 東京工業大学 2014 年前期４ ] 点 P(t , s ) が s  2t 2  2t を満たしながら xy 平面上を動くときに，点 P を原点に中心として 45 回転した点 Q の軌跡として得られる曲線を C とする。さらに，曲線 C と x 軸で囲まれた図形を D とする。 (1) 点 Q( x, y ) の座標を t を用いて表せ。 (2) 直線 y  a と曲線 C がただ 1 つの共有点を持つような定数 a の値を求めよ。 (3) 図形 D を y 軸のまわりに 1 回転して得られる回転体の体積 V を求めよ。 (1) s   2t 2  2t より P t , 2t 2  2t  x   cos 45     y   sin 45   であり， t   sin 45       2 cos 45   2t  2t  t  1  1 1     2  1 1   2t 2  2t  1  2  3t  2t 2     t  2t 2     3  1 t  t2,  t  t2  2  2  であるから Q  (2) Q の y 座標について y   1 t  t 2 であり， 2 これと y  a を連立して  1 1 t  t2  a ⇔ t2  t  a  0 …① 2 2 ①が重解を持てばよいので，判別式を D とすると 2  1  1 D     4a  0 より a   8 2   1 1 t  t 2  0 となるのは t  0, 2 2 (3) y   2  1  1 1 1 となるのは  t  である。 y t  t2     0 より t  8 2 2 2 2 2   C の 0≦t ≦ 1 を満たす x を x ， 2 2 求める体積を V とすると， V  0     2 2 1 2 1 2 2 1 2 0 1 2 0 x 8 0 dy dy dt    1 x 2 dt dt dt 2 2 dy dt dt t =0 O 1 8 2  3   1  t  t2     2t  dt  2  2    1 2  1  9 2 3 4  2t  dt  t  3 2t  t    2 2   1 2  5 13 2 4 9 2 2 t  12t 3  t  dt  2t  2 4   0 0 x 2 1 を満たす x を x とし， 2 y 0  ≦t ≦ dy 1   2t であるから dt 2  x 2 dy   1  x 2 dy 1  8  1 1 1 13 2 5 3 2 3 2 t  3t 4  t     t6  3 10 4  0  1 13 3 3  11         24 40 4 8  120 t= 1 2U 2 t= 1 U2 x