総合職試験・一般職試験（大卒程度試験）共通数学 ◎以下の 4 つの問題のうちから 3 つを選択して，解答用紙に解答を記入せよ。なお解答に当たっては，考え方や途中の計算などもなるべく詳しく記し，何らかの定理を用いた場合には，その名前や内容も明記すること。問１ a を実数とする。行列 A = ! 3a − 2 1 − 2a について，以下の問いに答えよ。 4a − 2 1 − 3a (1) A の固有値と固有ベクトルを求めよ。 ! x (2) f : R2 → R2 を f (x, y) = A で定まる R2 上の一次変換とする。R2 上の点列 y {pn }n∈N を p1 = (1, 0)，pn+1 = f (pn ) で定める。点列 {pn }n∈N が収束するための a の必要十分条件を求めよ。問２ R2 上の 2 変数関数 f (x, y) = xye− x2 +y 2 2 の極大となる点と極小となる点を求めよ。問３ N を自然数全体の集合，Z を整数全体の集合とする。以下の問いに答えよ。 (1) N から Z への全単射の例を具体的に一つ挙げ，それが実際に全単射であることを確認せよ。 (2) N から Z2 への全単射は存在するか？存在する場合は全単射の例を具体的に一つ挙げ，それが実際に全単射であることを確認せよ。存在しない場合はそれを証明せよ。問４ 1 から 6 の数字が書かれたサイコロを 2 つ投げたとき，その数字の和が偶数である事象を A，その数字が共に 3 以上の数である事象を B, その数字の最大値が偶数である事象を C とする。次の問いに答えよ。 (1) 事象 A, B, C の確率をそれぞれ求めよ。 (2) 事象 A と B は独立かを答え，それを示せ。 (3) 事象 A と C は独立かを答え，それを示せ。 1