数学Ⅲ 第章式と曲線【練習】

数学Ⅲ 第章　式と曲線【練習】
１ [青チャート数学Ⅲ 練習33]
放物線
14 [青チャート数学Ⅲ 練習46]
の焦点と準線を求め，その概形をかけ。
点，を通り，直線
次の直線と曲線が交わってできる弦の中点の座標と長さを求めよ。
に接する円の中心の軌跡を求めよ。
頂点が原点で，焦点が
軸上にあり，点，
を通る放物線の方程式を求めよ。
２ [青チャート数学Ⅲ 練習34]
半円
，
および
，
，
15 [青チャート数学Ⅲ 練習47]
軸の
の部分の，両方に接する円の中心
の
軌跡を求めよ。
楕円
数
と直線
が異なる点，
で交わるような，定
の値の範囲を求めよ。
の楕円と直線が異なる点で交わるとき，線分
の中点はある楕円の上を動
く。その楕円の方程式を求めよ。
３ [青チャート数学Ⅲ 練習35]
次の楕円の長軸短軸の長さ，焦点を求めよ。また，その概形をかけ。
16 [青チャート数学Ⅲ 練習48]
放物線
弦
の弦
の両端と頂点
を通る線分
，
が直交するならば，
は定点を通過することを証明せよ。
４ [青チャート数学Ⅲ 練習36]
17 [青チャート数学Ⅲ 練習49]
次のような楕円の方程式を求めよ。
点，，
，を焦点とし，この点からの距離の和が
つの曲線
楕円
：
正の定数
長軸が
と
：
が少なくとも点を共有するのは，
と焦点が一致し，短軸の長さが
軸上，短軸が
軸上にあり，点
，，，
がどんな値の範囲にあるときか。
を通る。
18 [青チャート数学Ⅲ 練習50]
５ [青チャート数学Ⅲ 練習37]
円
点
を次のように拡大または縮小した楕円の方程式と焦点を求めよ。
軸をもとにして
軸をもとにして
軸方向に倍に拡大
軸方向に
次の次曲線の，与えられた点から引いた接線の方程式を求めよ。
倍に縮小
，点，イ，点，
19 [青チャート数学Ⅲ 練習51]
，，軸上の動点
を：に内分する点
に引いた接線の方程式を，次方程式の判別式を
利用して求めよ。
ア　６ [青チャート数学Ⅲ 練習38]
軸上の動点
，から楕円
，
が
を満たしながら動くとき，線分
の軌跡の方程式を求め，その概形を図示せよ。
７ [青チャート数学Ⅲ 練習39]
双曲線
上の点
んでできる
，
における接線は，点
とつの焦点，
を等分することを証明せよ。ただし，
，
とを結
とする。
20 [青チャート数学Ⅲ 練習52]
次の双曲線の焦点と漸近線を求めよ。また，その概形をかけ。
楕円：
と定点
対し，△
８ [青チャート数学Ⅲ 練習40]
で，点
，
，
双曲線
と点
，の距離を最小にする
の座標と，そのと
上の点
，
と定点
，の距離の最小値を求めよ。ただし，は
実数の定数とする。
の面積を求めよ。
10 [青チャート数学Ⅲ 練習42]
次の方程式で表される曲線はどのような図形を表すか。また，焦点を求めよ。
に接する本の直線が直交す
から円
に引いた本の接線の両接点を
で与えられることを示せ。
に接することを証明せよ。
23 [青チャート数学Ⅲ 練習55]
次の条件を満たす点
に
とする。
直線は，方程式
直線は，双曲線
きの距離を求めよ。
上の点
の座標および △
を通り，双曲線
通る直線をとする。ただし，
楕円
上を動く点
22 [青チャート数学Ⅲ 練習54]
９ [青チャート数学Ⅲ 練習41]
上の点
がある。楕円
るとき，の値を求めよ。
を通る。
中心が原点で，漸近線が直交し，焦点のつが点，
双曲線
，
の面積が最大となるとき，点
は正の定数とする。点
，を焦点とし，焦点からの距離の差が
漸近線が直線
，
21 [青チャート数学Ⅲ 練習53]
次のような双曲線の方程式を求めよ。
点，，
，
点
，と直線
点
，と直線
の軌跡を求めよ。
からの距離の比が：
であるような点
からの距離の比が：であるような点
24 [青チャート数学Ⅲ 練習56]
双曲線上の任意の点
11 [青チャート数学Ⅲ 練習43]
曲線：
･
を，原点を中心として
を求めることにより，曲線
だけ回転して得られる曲線の方程式
が双曲線であることを示せ。
からつの漸近線に垂線
，
を下ろすと，線分の長さの積
は一定であることを証明せよ。
25 [青チャート数学Ⅲ 練習57]
実数，がつの不等式
，
を満たすとき，
の最大値，最小値を
求めよ。
12 [青チャート数学Ⅲ 練習44]
次の次曲線と直線は共有点をもつか。共有点をもつ場合には，交点接点の別とその点 26
[青チャート数学Ⅲ 練習58]
の座標を求めよ。
連立不等式
，
，
，
，が領域を動くとき，
，
と直線
を定数とする。放物線
の表す領域を
次の式で表される点
，は，どのような曲線を描くか。
の値の範囲を求めよ。
の共有点の個数を求めよ。
が共有点をもつような定数
と直線
とする。点
の最大値と，そのときの，の値を求めよ。
27 [青チャート数学Ⅲ 練習59]
13 [青チャート数学Ⅲ 練習45]
楕円
，
，
ア　イ 39 [青チャート数学Ⅲ 練習71]
放物線
28 [青チャート数学Ⅲ 練習60]
放物線
の焦点
は，の値が変化するとき，どんな曲線
，
が，原点を中心とする半径の円周上を反時計回りに周するとき，
，，点
点
，
は，原点の周りを反時計回りに何周するか。
29 [青チャート数学Ⅲ 練習61]
を媒介変数とする。次の式で表された曲線はどのような図形を表すか。
，
を
の焦点
を極とし，
おいて，曲線
上を動くか。
点
ウとし，原点を
に平行で
を通らない半直線
を始線とする極座標に
の極方程式を求めよ。
上に点があり，それらを
，
とする。
は焦点
を
とするとき，
を
で表せ。
座標が大きい順に
，，，
で垂直に交わっている。ベクトル
･
･
は
が
とすると，線分
軸の正の方向となす角
によらず一定であることを示し，その値
40 [青チャート数学Ⅲ 練習72]
，
とする。極方程式
で表される曲線
カージオイド，心
臓形について，次の問いに答えよ。
曲線
30 [青チャート数学Ⅲ 練習62]
実数，が
を満たすとき，
曲線：
の最大値と最小値を求めよ。
をかけ。
31 [青チャート数学Ⅲ 練習63]
とする。半径
の円
が原点
ることなく回転していく。円
，
にあったものとして，円
の回転角を
を中心とする半径
上の定点
とするとき，点
，
の中心
の定円
が，初め定円
と原点
に内接しながら滑
の周上の定点
を結ぶ線分の，
が描く曲線を媒介変数
軸の正方向から
で表せ。
32 [青チャート数学Ⅲ 練習64]
平面上に円
上を動く点
：
，
に対して，直線
に関して対称な点を
：
と円
がある。原点
の交点のうち
とする。このとき，線分
以外の点を
の中点
を除いた円
とし，
と
軸
の軌跡を表す方程式を求
め，その概形を図示せよ。
33 [青チャート数学Ⅲ 練習65]
極座標が次のような点を図示せよ。また，直交座標を求めよ。
ア　，
イ，
ウ，
エ，
直交座標が次のような点の極座標，
ア　，
イ，
を求めよ。
ウ，
34 [青チャート数学Ⅲ 練習66]
を極とする極座標に関して，点
，
，
，
，
，
が与えられて
いるとき，次のものを求めよ。
線分
の長さ　△
の面積　△
の面積
35 [青チャート数学Ⅲ 練習67]
極座標に関して，次の円直線の方程式を求めよ。
中心が点
，
点
を通り，
，
，半径がの円
は極に垂直な直線
36 [青チャート数学Ⅲ 練習68]
楕円
を極方程式で表せ。
次の極方程式はどのような曲線を表すか。直交座標の方程式で答えよ。
ア　イウ　エ 37 [青チャート数学Ⅲ 練習69]
半径
に
の円
から垂線
始線を
直線
の定直径を
として，点
の点
とする。点
を引き，
は円周上の動点で，点
の延長上に点
をとって
における接線
とする。
を極，
の軌跡の極方程式を求めよ。
における垂線
は，定円に接することを示せ。
38 [青チャート数学Ⅲ 練習70]
極座標において，点
，
を通り始線に垂直な直線を
からの距離の比が次のように一定である点
ア　とする。極
の軌跡の極方程式を求めよ。
イ次の極方程式の表す曲線を，直交座標の方程式で表せ。
と直線
は直線
に関して対称であることを示せ。
はどんな曲線を表すか。また，曲線
を利用して曲線
の概形

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