1 曲線 C : y = x 3 + 2ax2 + bx が x ≧ 0

年番号
1
曲線 C : y = x3 + 2ax2 + bx と直線 ` : y = ax が x = 0 で定義されており，原点以外でこれ
らの曲線 C と直線 ` が接するものとする．次の問いに答えなさい．なお，a Ë 0 とする．
(1) 曲線 C と直線 ` との共有点が二つあることを示し，それらの共有点の座標を求めなさい．また，
2
氏名
図 1 のような 11 段の階段がある．この階段を一足で 1 段上っても 2 段上ってもよい．また，一
足で 1 段上ることと一足で 2 段上ることを混ぜて上ってもよい．これらの上り方以外は認めら
れず，連続して 2 段ずつは上れないものとする．次の問いに答えなさい．
(1) ちょうど 5 段上る上り方は何通りか求めなさい．
a のとりうる値の範囲を求めなさい．
(2) 曲線 C と直線 ` で囲まれる面積を S1 ，これら二つの共有点と点 (0; ¡1) からなる三角形の面
(2) 11 段上る上り方は何通りか求めなさい．
積を S2 とする．S1 = S2 となる a の値を求めなさい．
（福島大学 2010 ）
（福島大学 2010 ）
3
以下の問いに答えなさい．
(1) 自然数 n に対して，S(n) =
12n+3
P
k2 ; T(n) =
k=1
12n+3
P
k=1
(2k ¡ 1) とおくとき S(n) ¡ T(n) が正の
奇数となることを証明しなさい．
(2) 関数 f(x) が次の関係を満たすものとする．
Z
0
¡u
tf
d
f(t + u)g dt = ¡e¡u cos u + uf(0) ¡ u + 1
dt
このとき，z = t + u という置き換えを利用して
Z
u
0
f(z) dz を求めなさい．
(3) 整式 P1 (x) は，x2 ¡ (a + 1)x + a で割ると 2x + b 余り，整式 P2 (x) は，x2 ¡ (b ¡ 2)x ¡ 2b
で割ると x ¡ a 余る．P1 (a) = 2P2 (b) のとき，a と b の関係を求めなさい．
（福島大学 2010 ）

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