2直線の位置関係・点と直線の関係

2 直線の位置関係・点と直線の関係
数学 II・B 授業ノート
1 2 直線の位置関係
2 直線が
ax + by + c = 0
′
a x + b′ y + c′ = 0
で与えられているとする．2 直線はそれぞれの方程式を満たす (x, y) の組で，仮に，2 つの直線が 1 点で交わると
き，その交点の (x, y) は 2 つの方程式を同時に満たす (x, y)，すなわち連立方程式の解である．
一般に，連立方程式の解と直線の位置関係には次のような関係がある．
1. 2 直線が 1 点で交わる ⇐⇒ 連立方程式はただ一つの解を持つ
2. 2 直線が平行で一致しない ⇐⇒ 連立方程式は解を持たない
3. 2 直線が一致する ⇐⇒ 連立方程式の解が無数にある
y
y
ax + by + c = 0
y
ax + by + c = 0
ax + by + c = 0
a ′ x + b′ y + c′ = 0
a′ x + b′ y + c′ = 0
O
x
O
x
O
a ′ x + b′ y + c′ = 0
x
2 直線に関して対称な点
2 点 A，B がある直線 ℓ について対称であることは，次の 2 つのことが同時に成り立つことと同値である．
1. 直線 AB は ℓ に垂直である．
2. 線分 AB の中点が ℓ 上にある．
1
• 直線 2x − y − 3 = 0 に関して A(1, 4) と対称な点 B の座標を求めてみよう．
直線 2x − y − 3 = 0 を ℓ とし，点 B の座標を (p, q) とする．直線 ℓ の傾きは 2 だから，直線 AB
の傾きは
p−4
1
=−
q−1
2
すなわち，
(
線分 AB の中点
p−1 q−4
,
2
2
p + 2q − 9 = 0
)
は直線 2x − y − 3 = 0 の上にあるから，
2·
p−1 q+4
−
−3=0
2
2
すなわち，
2p − q − 8 = 0
したがって，これらを連立させ解くと，
p = 5,
q=2
よって，点 B の座標は (5, 2)
y
A
B(p, q)
O
x
−3
3 点と直線の距離
点 P から直線 ℓ に下した垂線の長さのことを，直線 ℓ と点 P との距離という．
まず，原点 O と直線 ℓax + by = c = 0 との距離を考えてみよう．
2
O から ℓ に下した垂線の足を H とする．OH は ℓ に垂直だから，直線 OH の方程式は，
y=
b
x
a
と表される．H は ℓ の交点だから，これを ℓ の方程式に代入すると，
b
ax + b · x + c = 0
a
a2 + b2
x = −c
a
x=−
ac
a2 + b2
である．一方，y は，
y=−
となり，H の座標は，
(
H −
bc
a2 + b2
ac
bc
,− 2
2
2
a +b
a + b2
)
となる．ここで，線分 OH の長さは，
(
)2 (
)2
ac
bc
+
−
a2 + b2
a2 + b2
a2 c2 + b2 c2
=
(a2 + b2 )2
c2 (a2 + b2 )
=
(a2 + b2 )2
c2
= 2
a + b2
OH2 =
したがって，
−
|c|
OH = √
2
a + b2
つまり，次のことが言える．
平面座標上の原点 O と直線 ax + by + c = 0 との距離は
√
|c|
a 2 + b2
3
次に P(x1 , y1 ) と直線 ax + by + c = 0 との距離を考えてみよう．点 P を x 軸方向に −x1 ，y 軸方向に −y1 平行
移動させると，点 P は原点に移り，平行移動した直線の方程式は，
a(x + x1 ) + b(y + y1 ) + c = 0
ax + by + (ax1 + by1 + c) = 0
である．
したがって，原点と直線 ax + by + (ax1 + by1 + c) = 0 との距離は，
|ax1 + by1 + c|
√
a2 + b2
である．これは点 P と直線 ax + by + c = 0 との距離と同じである．
点 P(x1 , y1 ) と直線 ax + by + c = 0 との距離は，
|ax1 + by1 + c|
√
a 2 + b2
4 演習問題
1. 2 つの直線 ax + 2y − c = 0，3x − y + 1 = 0 が 1 点で交わるための必要十分条件を求めよ．
2. 直線 x + y + 1 = 0 に関して，点 A(3, 2) と対称な点 B の座標を求めよ．
3. 次の点と直線の距離を求めよ．
(a) 原点と直線 2x − y + 5 = 0
(b) 点 (2, 1) と直線 3x − 4y + 3 = 0
(c) 点 (−1, −3) と直線 y = 2x + 5
4

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