Spezielle Matrizen 1-E Ma 1 – Lubov Vassilevskaya Spezielle Matrizen: Aufgabe 1 Erklären Sie die Bedeutung folgender Matrizen und bestimmen Sie ihre Determinanten: a ) P1 = ( 0 0 , 0 1 ) b) Sx = ( 1 0 , 0 −1 ( ( P2 = ) Sy = ) 0 0 0 c) M1 = 0 0 0 , 0 0 1 ( ) ) −1 0 , 0 1 ( ) SO = ) 0 0 , 1 ( −1 0 0 −1 ( 1 0 0 M2 = 0 1 0 , 0 0 0 cos θ −sin θ d ) M 1 = sin θ cos θ 0 0 1-A ( 1 0 0 0 ) 1 0 0 M3 = 0 0 0 0 0 1 ( 1 M2 = 0 0 ) 0 0 cos θ −sin θ sin θ cos θ ) Ma 1 – Lubov Vassilevskaya Spezielle Matrizen: Lösung 1a P1 = ( 0 0 0 1 ) Diese Matrix ordnet jedem Vektor eines zweidimensionalen Raumes einen Vektor zu, dessen erste Koordinate null ist und dessen zweite Koordinate unverändert ist : P1 ⋅ ⃗ u= ( ) ( ) ( ) u 0 0 ⋅ 1 = 0 1 u2 0 , u2 ⃗u ∈ ℝ 2 Ist r ein Vektor des kartesischen x,y-Koordinatensystems, so kann man diese Gleichung in folgender Form darstellen: P 1 ⋅ ⃗r = ( )( ) ( ) 0 0 ⋅ x = 0 0 1 y y Die Matrix projiziert jeden Vektor der x,y-Ebene auf die y-Achse. det P 1 = 0 1-1a Ma 1 – Lubov Vassilevskaya Spezielle Matrizen: Lösung 1a P2 = ( 1 0 0 0 ) Diese Matrix ordnet jedem Vektor eines zweidimensionalen Raumes einen Vektor zu mit unveränderter ersten Koordinate und mit der zweiten Koordinate gleich null: P 2 ⋅ ⃗u = ( ( ) ( ) ) u u1 1 0 ⋅ 1 = , 0 0 u2 0 ⃗u ∈ ℝ 2 oder im x,y-Koordinatensystem: P 2 ⋅ ⃗r = ( )( ) ( ) 1 0 ⋅ x = x 0 0 y 0 Die Matrix projiziert jeden Vektor der x,y-Ebene auf die x-Achse. det P 2 = 0 1-1b Ma 1 – Lubov Vassilevskaya Spezielle Matrizen: Lösung 1b a) Die Matrix beschreibt die Spiegelung an der x-Achse: S x ⋅ ⃗r = ( )( ) ( ) 1 0 x ⋅ x = 0 −1 y −y b) Die Matrix beschreibt die Spiegelung an der y-Achse: S y ⋅ ⃗r = ( )( ) ( ) −1 0 ⋅ x = −x 0 1 y y c) Die Matrix beschreibt die Spiegelung am Koordinatenursprung: S O ⋅ ⃗r = 1-2 ( )( ) ( ) −1 0 ⋅ x = −x 0 −1 y −y Ma 1 – Lubov Vassilevskaya Spezielle Matrizen: Lösung 1c ( 0 0 0 M1 = 0 0 0 0 0 1 ) Die Matrix ordnet jedem Vektor eines dreidimensionalen Raumes einen Vektor mit unveränderter dritter Koordinate zu. Die anderen Koordinaten werden null : ( )( ) ( ) u1 0 0 0 M 1 ⋅ ⃗u = 0 0 0 ⋅ u = 2 0 0 1 u3 0 0 , u3 u ∈ ℝ3 ⃗ oder im x,y,z-Koordinatensystem: ( )( ) ( ) 0 0 0 x M 1 ⋅ ⃗r = 0 0 0 ⋅ y = 0 0 1 z 0 0 z Die Matrix projiziert jeden Vektor des 3-Raumes auf die z-Achse. det M 1 = 0 1-3a Ma 1 – Lubov Vassilevskaya Spezielle Matrizen: Lösung 1c ( 1 0 0 M2 = 0 1 0 0 0 0 ) Die Matrix ordnet jedem Vektor eines dreidimensionalen Raumes seine Projektion auf die x,y-Ebene zu ( )( ) ( ) ux ux 1 0 0 M2⋅u ⃗= 0 1 0 ⋅ u = u , y y 0 0 0 uz 0 3 ⃗u ∈ ℝ det M 2 = 0 1-3b Ma 1 – Lubov Vassilevskaya Spezielle Matrizen: Lösung 1c ( 1 0 0 M3 = 0 0 0 0 0 1 ) Die Matrix ordnet jedem Vektor eines dreidimensionalen Raumes seine Projektion auf die x,z-Ebene zu ( )( ) ( ) ux 1 0 0 M 3 ⋅ ⃗r = 0 0 0 ⋅ u = y 0 0 1 uz ux 0 uz , 3 u ⃗∈ℝ det M 3 = 0 1-3c Ma 1 – Lubov Vassilevskaya Spezielle Matrizen: Lösung 1d ( cos θ −sin θ M 1 = sin θ cos θ 0 0 0 0 1 ) Diese Matrix beschreibt die Drehung eines 3D-Vektors um einen Winkel θ in der x,y-Ebene ( cos θ −sin θ M1 ⋅u ⃗ = sin θ cos θ 0 0 det M 1 = 1 ⋅ (−1)3+ 3 1-4a ∣ )( )( ux cos θ⋅u x − sin θ⋅u y 0 0 ⋅ u y = sin θ⋅u x + cos θ⋅u y 1 uz uz ) ∣ cos θ −sin θ = cos 2 θ + sin 2 θ = 1 sin θ cos θ Ma 1 – Lubov Vassilevskaya Spezielle Matrizen: Lösung 1d ( 1 M2 = 0 0 0 0 cos θ −sin θ sin θ cos θ ) Diese Matrix beschreibt die Drehung eines 3D-Vektors um einen Winkel θ in der y,z-Ebene ( 1 M 2 ⋅ ⃗u = 0 0 det M 2 = 1 ⋅ (−1)1 +1 1-4b )( )( ux ux 0 −sin θ ⋅ u y = cos θ⋅u y − sin θ⋅u z cos θ uz sin θ⋅u y + cos θ⋅u z 0 cos θ sin θ ∣ ) ∣ cos θ −sin θ = cos 2 θ + sin 2 θ = 1 sin θ cos θ Ma 1 – Lubov Vassilevskaya