Institut f¨ ur theoretische Physik Universit¨ at zu K¨ oln PD Dr. Rochus Klesse Dr. Sebastian Schmittner ¨ Quantenphysik – Ubungsblatt 6 Abgabe bis 20.05.2015 Website: http://www.thp.uni-koeln.de/~ses/qm2015 Aufgabe 6.1. Translation und Impuls Die quantenmechanische Dynamik eines Teilchens in einer Dimension sei durch einen Hamiltonoperator H gegeben. Ta sei der aus der Vorlesung bekannte Translationsoperator. H ist per definitionem translationsinvariant genau dann wenn hHiψ = hHiTa ψ f¨ ur alle a ∈ R und ψ ∈ H. a. Zeigen Sie, dass H genau dann translationsinvariant ist wenn Ta HTa−1 = H f¨ ur alle a ∈ R. b. K sei der Generator der Translationen Ta , d.h. Ta = e−iKa . Zeigen Sie, dass H genau dann translationsinvariant ist wenn K erhalten ist. Aufgabe 6.2. Impulsdarstellung ur ein Teilchen in einer Dimension; d.h. |ki mit {|ki}k∈R bezeichne die Impulsbasis f¨ ikx Wellenfunktion hx|ki = e istRein Impulseigenvektor zum Eigenwert (Impuls) ~k mit dk |ki hk| = 1H . Wellenzahl k und es gilt zudem 2π a. Zeigen Sie: Z hk|ψi = ˜ dx e−ikx ψ(x) =: ψ(k) , ∂ hk|ψi , ∂k Z dk ˜ ∗ ∂ ˜ hˆ xiψ = ψ(k) i ψ(k) , 2π ∂k Z dk ˜ ∗ ˜ hˆ piψ = ψ(k) ~k ψ(k) . 2π hk|ˆ x|ψi = i b. Was ist die physikalische Bedeutung des Operators eiˆxq ? (q ∈ R) Aufgabe 6.3. Rotation und Drehimpuls Der quantenmechanische Impuls kann als Generator der Translationen definiert werden. Dass der quantenmechanische Drehimpuls ebenso als Generator der Rotationen aufgefasst werden ist Gegenstand dieser Aufgabe. Zur Vereinfachung betrachten wir hier aber nur Rotationen um die Achse e3 , beschrieben durch die Matrix   cos α − sin α 0 Dα =  sin α cos α 0  0 0 1 1 wobei α den Drehwinkel bezeichnet. Der entsprechende Operator Rα auf H ist dann durch seine Wirkung Rα |ri := |Dα ri auf einen Ortszustand |ri = |x1 , x2 , x3 i definiert; explizit in Koordinaten also Rα |x1 , x2 , x3 i := |x1 cos α − x2 sin α, x1 sin α + x2 cos α, x3 i a. Zeigen Sie anhand der bekannten Eigenschaften der Rotationen Dα , dass Rα unit¨ar R0 = 1 Rα+β = Rα Rβ = Rβ Rα Rα−1 = R−α . b. Zeigen Sie mittels a), dass es einen hermitschen Operator iI gibt, so dass ∂α Rα = IRα = Rα I und folgern Sie, dass Rα = eαI . c. Zeigen Sie nun, dass L3 := i~I eine Observabdale ist, die genau dann bzg. der Dynamik eines Hamiltonians H eine Erhaltungsgr¨oße ist, wenn H Rotationsinvariant ist. d. Zeigen Sie schließlich, dass die Observable L3 durch Orts- und Impulsoperatoren gem¨aß L3 = x ˆ1 pˆ2 − x ˆ2 pˆ1 dargestellet werden kann 2