1.4B. Rollkurven in Parameterdarstellung Zur Erinnerung: Durchläuft ein Zeitparameter t ein bestimmtes Zeitintervall T, so beschreibt jede Funktion g : T --> R2 eine ebene Kurve, wobei g( t ) = ( g1( t ), g2( t ) ) der Kurvenpunkt zur Zeit t ist. Häufig (insbesondere in der Mechanik) entstehen solche Kurven durch gekoppelte Kreisbewegungen. Wir wollen einige dieser Kurven rechnerisch und graphisch darstellen. Ein kleiner Kreis rollt auf einem großen ab. Dabei bewegt sicht die Spitze eines (eventuell verlängerten oder verkürzten) Radiusvektors auf einer sogenannten Rollkurve. R : großer Radius r : kleiner Radius a : Länge des Radiusvektors Epizykloiden Der kleine Kreis rollt außen herum ab. Dabei bewegt sich das Zentrum des kleinen Kreises auf einer Kreiskurve mit der Parameterdarstellung (( R + r ) cos( t ), ( R + r ) sin( t )), 0 ≤ t < 2 π. Gleichzeitig rotiert der Radiusvektor der Länge a um dieses Zentrum. Von dort aus als Koordinaten-Ursprung sieht man die Kreisbewegung  (R + r) t   (R + r) t  , −a sin  ), 0 ≤ t < 2 π (−a cos  r   r  denn die Winkelgeschwindigkeit der Drehung verhält sich aufgrund der Abrollbedingung zu der des Zentrums wie R + r zu r . Die negativen Vorzeichen bei a resultieren aus der Tatsache, dass der Drehsinn des kleinen Kreises umgekehrt zu dem des Zentrum ist. Insgesamt erhalten wir die Parameterdarstellung der Rollkurve (die von dem Endpunkt des Radiusvektors beschrieben wird) durch Addition der beiden einzelnen Bewegungen:  (R + r) t   (R + r) t  , ( R + r ) sin( t ) − a sin  ), 0 ≤ t < 2 π. (( R + r ) cos( t ) − a cos  r   r  R = 4, r = 1, a = 1 R = 3, r = 1, a = 2 Hypozykloiden Der kleine Kreis rollt innen herum ab. Die Rollkurve hat dann (aufgrund entsprechender Überlegungen wie vorher) die Parameterdarstellung  (R − r) t   (R − r) t  , ( R − r ) sin( t ) − a sin  ), 0 ≤ t < 2 π. (( R − r ) cos( t ) + a cos  r   r  Hier einige Beispiele: Umsetzen einer Kreisbewegung in eine geradlinige Bewegung (Schubkurbel!) R = 2, r = 1, a = 1 Atomkern mit rotierendem Elektron (nicht realistisch!) R = 3, r = 1, a = 2 Astroide R = 4, r = 1, a = 1 Fräsen eines annähernd quadratischen Lochs R = 4, r = 1, a = 2 −1 Innere und äußere Rollkurve zusammen R = 3, r1 = 1, r2 = 1, a1 = 2, a2 = 1 R1 = 3, R2 = 9, a1 = 3, a2 = 3 R = 3, a1 = 7, a2 = 4 Außenrollkurven, a = R+3 Dreidimensionale Rotation der Rollkurven um eine Raumachse liefert Äpfel, Kreisel, Wollknäuel und vieles mehr... R = 2, r = -1, a = 1 R = 4, r = 1, a = 2 R = 30, r = 1, a = 5 R = 5, r = -1, a = 1