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Differentialoperator
1­E1
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Differentialoperator
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Ein Differentialoperator ist in der Mathematik eine Abbildung, die
einer Funktion eine Funktion zuordnet und die Ableitung nach einer
oder mehreren Variablen enthält.
Der wichtigste Differentialoperator ist die gewöhnliche Ableitung, d.h.
die Abbildung d/dx :
d
:
dx
1­E2
f 
d
df
f =
= f '
dx
dx
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Differentialoperator: Beispiel 1
Abb. 1­1: Die Darstellung eines linearen Differentialoperators als eine Abbildung
f  x = − x 2  2
1­1

 
d

dx
g  x = f '  x = −2 x
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Differentialoperator: Beispiel 2
Abb. 1­2: Die Darstellung eines Differentialoperators zweiter Ordnung als eine Abbildung
1 2 2
f  x =
x  x − 3
4
1­2
 
d2


2
dx
h  x  = f ' '  x = 3 x 2 −
3
2
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Differentialoperator: Beispiel 3
Abb. 1­2: Die Funktion y = f (x) und ihre Ableitung g = f' (x)
d
:
dx
2­1
f  x = cos x ,
g  x = f '  x = −sin x
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Differentialoperator: Beispiel 4
Abb. 1­3: Die Funktion y = f (x) und ihre Ableitung g = f' (x)
d
:
dx
2­2
x3
f  x = −
 2x,
6
x2
g  x = f '  x  = −
2
2
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Differentialoperator: Beispiel 5
Abb. 1­4a: Die Funktion y = f (x) und ihre Ableitung g = f' (x)
d
:
dx
2­3a
f  x = e x − sin x ,
g  x = f '  x = e x − cos x
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Differentialoperator: Beispiel 5
Abb. 1­4a: Die Funktion y = f (x) und ihre Ableitung g = f' (x)
d
:
dx
2­3b
f  x = e x − sin x ,
g  x = e x − cos x
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Differentialoperator: Beispiel 6
Abb. 1­3: Die Funktion y = f (x) und ihre Ableitung g = f' (x)
f  x = ∣ x ∣
Die Funktion y = f (x) ist eine stetige Funktion, die Ableitungsfunktion y = g (x)
ist im Punkt O (0, 0) nicht stetig.
2­4
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Differentialoperator: Beispiel 7
Abb. 2­1a: Darstellung eines linearen Differentialoperators: partielle Ableitung nach der Variablen x
f  x , y = sin 2 x cos 2 y
g  x , y =
3­1
∂
f  x , y = 2 sin x cos x cos 2 y = sin 2 x cos 2 y
∂x
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Differentialoperator: Beispiel 8
Abb. 2­1b: Darstellung eines Differentialoperatos: partielle Ableitung zweiter Ordnung nach der Variablen x
f  x , y = sin 2 x cos 2 y
∂2
2
h  x , y =
f

x
,
y
=
2
cos
2
x
cos
y
2
∂x
3­2
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Differentialoperator: Beispiel 9
Abb. 2­2a: Darstellung eines linearen Differentialoperators: partielle Ableitung nach der Variablen x
f  x , y = cos  x 2  y 2  ,
g  x , y =
3­3a
x , y ∈ [− /2,  / 2]
∂
f  x , y = − 2 x sin  x 2  y 2 
∂x
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Differentialoperator: Beispiel 9
Abb. 2­2b: Darstellung eines Differentialoperators: partielle Ableitung zweiter Ordnung nach der Variablen x
f  x , y = cos  x 2  y 2  ,
x , y ∈ [− /2,  / 2]
∂2
2
2
2
2
2
h  x , y =
f

x
,
y
=
−
2
sin

x

y

−
4
x
cos

x

y

2
∂x
3­3b
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Differentialoperator: Beispiel 10
f (x, y)
Abb. 2­3a: Darstellung einer Funktion z = f (x, y)
f  x , y  = 6 − x 2  4 cos  4 y 
3­4a
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Differentialoperator: Beispiel 10
g (x, y)
Abb. 2­3b: Darstellung der ersten partiellen Ableitung der Funktion z = g (x, y) =
f ' (x, y) nach der Variablen y
f  x , y = 6 − x 2  4 cos  4 y
g  x , y =
3­4b
∂
f  x , y  = −16 sin 4 y 
∂y
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Mathematik 1: Einleitung - Dr. Lubov Vassilevskaya, Math-Grain.de

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