Vorlesung200415

Inhalt
Koordinaten
Galilei-Trafo
Axiome
Dynamik in 1D
Kurs 17062 T1p: Lecture 1
H. Ruhl
Computational and Plasma Physics, LMU Munich, Germany
April 20, 2015
Energieerhaltung
Inhalt
Koordinaten
Galilei-Trafo
Axiome
Inhalt
• Koordinaten und Koordinatensysteme
• Galilei Transformation
• Newtons Axiome.
• Dynamik in 1D.
Dynamik in 1D
Energieerhaltung
Inhalt
Koordinaten
Galilei-Trafo
Axiome
Dynamik in 1D
Energieerhaltung
Koordinaten und Koordinatensysteme
Massepunkte sind Punkte mit einem Ort, einer Geschwindigkeit, einer Masse und einer Ladung. Sie sind idealisierte
physikalische Objekte. In kartesischen Koordinaten lautet die Bahnkurve eines Massepunktes
~
x(t) = x(t)~
ex + y (t)~
ey + z(t)~
ez .
(1)
Die ~
ex , ~
ey und ~
ez sind die kartesischen Koordinateneinheitsvektoren. Durch Einf¨
uhrung von Zylinderkoordinaten r ,
φ und z und den Beziehungen
x = r cos φ ,
y = r sin φ ,
z =z
(2)
erhalten wir Koordinateneinheitsvektoren f¨
ur Zylinderkoordinaten
∂r ~
x = (cos φ, sin φ, 0) ,
~
er =
~
eφ =
~
ez =
∂r ~
x
|∂r ~
x|
∂φ~
x
∂z ~
x
∂z ~
x = (0, 0, 1)
= (cos φ, sin φ, 0) ,
|∂φ~
x|
|∂z ~
x|
∂φ~
x = (−r sin φ, r cos φ, 0) ,
(3)
(4)
= (− sin φ, cos φ, 0) ,
(5)
= (0, 0, 1) .
(6)
Kartesische Koordinaten der Bahnkurve k¨
onnen durch zylindrische Koordinaten ausgedr¨
uckt werden. Mit
x = r cos φ ,
y = r sin φ ,
z =z,
→~
x = x~
ex + y ~
ey + z ~
ez = r ~
er + z ~
ez .
(7)
Inhalt
Koordinaten
Galilei-Trafo
Axiome
Dynamik in 1D
Energieerhaltung
Koordinaten und Koordinatensysteme
F¨
ur ein Wegelement in Zylinderkoordinaten folgt
d~
x = d (r ~
er + z ~
ez ) = dr ~
er + r d~
er + dz ~
ez = dr ~
er + r dφ~
eφ + dz ~
ez .
(8)
Durch Einf¨
uhrung von Kugelkoordinaten r , φ und θ und den Beziehungen
x = r cos φ sin θ ,
y = r sin φ sin θ ,
z = r cos θ .
(9)
= (cos φ sin θ, sin φ sin θ, cos θ) ,
(10)
erhalten wir Koordinateneinheitsvektoren f¨
ur Kugelkoordinaten
∂r ~
x = (cos φ sin θ, sin φ sin θ, cos θ) ,
~
er =
∂φ~
x = (−r sin φ sin θ, r cos φ sin θ, 0) ,
∂r ~
x
|∂r ~
x|
~
eφ =
∂θ~
x = (r cos φ cos θ, r sin φ cos θ, −r sin θ) ,
∂φ~
x
|∂φ~
x|
~
eθ =
= (− sin φ, cos φ, 0) ,
∂z ~
x
|∂z ~
x|
(11)
= (cos φ cos θ, sin φ cos θ, − sin θ) .(12)
F¨
ur ein Wegelement in Kugelkoordinaten folgt
d~
x = dr ~
er + rdθ ~
eθ + r sin θdφ~
eφ .
(13)
Inhalt
Koordinaten
Galilei-Trafo
Axiome
Dynamik in 1D
Energieerhaltung
Galilei-Transformation
0
Wir betrachten zwei Koordinatensysteme S und S , die sich mit der Geschwindigkeit ~
u = u~
ex relativ zueinander
bewegen. Wir fordern
0
x = x − ut ,
(14)
0
y =y,
(15)
0
z =z,
(16)
0
t =t.
(17)
Diese Transformationsvorschrift nennt man Galilei-Transformation. Sie leitet sich f¨
ur u c aus der
Lorentz-Poincare Transformation ab. Aus der Galilei-Transformation folgt, dass die Lichtgeschwindigkeit c in S und
0
0
S nicht konstant sein kann. Es folgt weiter, dass es eine globale Zeit t in S und S gibt. Es gilt
0
~
v =~
v −~
u,
0
~
a =~
a,
~
F
0
=~
F.
(18)
(19)
(20)
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Koordinaten
Galilei-Trafo
Axiome
Dynamik in 1D
Energieerhaltung
Newtons Axiome
•
•
Newtons 1. Axiom: Es gibt Bezugssysteme, in denen die kr¨
aftefreie Bewegung eines Massepunkts durch
konstante Geschwindigkeit charakterisiert ist. Solche Bezugssysteme heißen Inertialsysteme.
Newtons 2. Axiom: In einem Intertialsystem gilt
d~
p
dt
=~
F,
~
p = m~
v.
(21)
wobei m die tr¨
age Masse des Massepunkts und ~
F die auf ihn wirkende echte Kraft ist. Scheinkr¨
afte sind
von echten Kr¨
aften zu unterscheiden. In Inertialsystemen k¨
onnen keine Scheinkr¨
afte auftreten.
•
Newtons 3. Axiom: Bewirkt die Umgebung eines Massepunkts in einem Inertialsystem eine Kraft ~
F auf den
Massepunkt, so erzeugt umgekehrt der Massepunkt die Kraft −~
F auf seine Umgebung. Es gilt das Prinzip
Actio = Reactio .
(22)
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Axiome
Dynamik in 1D
Energieerhaltung
Beispiel zur Scheinkraft
0
Bezeichne S ein gegen¨
uber S gleichf¨
ormig beschleunigtes Bezugssystem. Zum Zeitpunkt t = 0 betrage der
Abstand der Koordinatenurspr¨
unge beider Bezugssysteme ~
d0 , ihre Relativgeschwindigkeit ~
v0 und ihre
Relativbeschleunigung ~
a0 . Dann gilt f¨
ur einen beliebigen Zeitpunkt t
~
d(t) =
0
1
2
2
~
a0 t + ~
v0 t + ~
d0 .
(23)
0
Die Bahnkurven in S und S seinen ~r (t) und ~r (t). Es muss gelten
0
~r (t) − ~r (t) = ~
d(t) .
(24)
0
¨
¨
¨
~
r (t) − ~
r (t) = ~
d(t) ,
(25)
Es folgt
0
¨
m~
r (t) = ~
F − m~
a0 .
Somit taucht in S
0
die Scheinkraft m~
a0 auf. S
0
ist aber auch kein Inertialsystem.
(26)
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Koordinaten
Galilei-Trafo
Axiome
Dynamik in 1D
Energieerhaltung
Beispiel zu Actio und Reactio
Wir betrachten zwei Teilchen 1 und 2 und die Gravitationskraft
~
F12 = G m1 m2
~
x1 − ~
x2
|~
x1 − ~
x2 | 3
,
(27)
wobei G = 6.67 · 10−11 m3 /kg s2 die universelle Gravitationskonstante ist. Es gilt
~
F12 = −~
F21 .
(28)
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Axiome
Dynamik in 1D
Energieerhaltung
Erg¨anzende Postulate
•
1. Postulat: Die mechanische Kraft zwischen zwei Teilchen wirkt entlang ihrer Verbindungslinie
(~
x1 − ~
x2 ) × ~
F = 0.
•
2. Postulat: Kr¨
afte werden wie Vektoren superponiert
~
F =
N
X
~
Fi .
i=1
•
(29)
Inertialsysteme gehen durch Galilei-Transformationen ineinander u
¨ber.
(30)
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Axiome
Dynamik in 1D
Energieerhaltung
Dynamik in 1D
•
1. Freie unged¨
ampfte Schwingung: Wir betrachten einen harmonischen Oszillator mit k > 0
m¨
x + k x = 0,
xh (0) = C1 ,
xh (t) = C1 cos (ωt) + C2 sin (ωt) ,
s
k
x˙ h (0) = ω C2 , ω =
.
m
(31)
(32)
Alternativ kann die L¨
osung geschrieben werden als
xh (t) = A sin (ωt + φ) = A sin φ cos (ωt) + A cos φ sin (ωt) ,
q
C1
A = C12 + C22 , φ = arctan
.
C2
For xh (0) = C1 and x˙ h (0) = 0 we find
(33)
(34)
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Axiome
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Energieerhaltung
Dynamik in 1D
•
1. Freie ged¨
ampfte Schwingung: Wir betrachten einen ged¨
ampften harmonischen Oszillator mit a ∈ <
und k > 0. F¨
ur a2 6= 4mk gilt
m¨
x + ax˙ + k x = 0 ,
xh (0) = C1 + C2 ,
λ t
λ t
xh (t) = C1 e − + C2 e + , λ± = −
a
2m
x˙ h (0) = λ− C1 + λ+ C2 .
p
±
a2 − 4km
2m
,
(35)
(36)
F¨
ur a2 = 4mk gilt
xh (t) = C1 e
xh (0) = C1 ,
•
−λt
+ C2 t e
−λt
x˙ h (0) = C2 −
,λ =
a
2m
a
2m
C1 .
,
(37)
(38)
Die L¨
osung kann durch den Ansatz x(t) ∼ e λt , welcher auf ein charakteristisches Polynom in λ f¨
uhrt,
gefunden werden.
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Axiome
Dynamik in 1D
Dynamik in 1D
•
Kriechfall a2 >√4mk: F¨
ur a =
3, k = 1, m = 1 und C1 = C2 = 1 finden wir
√
xh (t) = e
•
−3−
2
5t
+e
−3+
2
5t
ged¨
ampfte Schwingung a2 < 4mk: F¨
ur a = 0.1, k = 1, m = 1 und C1 = C2 = 1 finden wir
xh (t) = e (−0.05−i)t + e (−0.05+i)t
x
2
1
10
-1
20
30
40
50
t
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Dynamik in 1D
•
aperiodischer Grenzfall a2 = 4mk: F¨
ur a = 2, k = 1, m = 1 und C1 = C2 = 1 finden wir
xh (t) = e −t + t e −t
•
aperiodischer Grenzfall a2 = 4mk: F¨
ur a = 2, k = 1, m = 1, C1 = 1 und C2 = 10 finden wir
xh (t) = e −t + 10 t e −t
Energieerhaltung
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Koordinaten
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Axiome
Dynamik in 1D
Energieerhaltung
Dynamik in 1D
•
1. Getriebene ged¨
ampfte Schwingung: Wir betrachten einen ged¨
ampften harmonischen Oszillator mit
a ∈ <, k > 0, w > 0 und A > 0, der getrieben wird. F¨
ur a2 6= 4mk gilt
m¨
x + ax˙ + k x = A cos wt ,
(39)
x(t) = xh (t) + xih (t)
(40)
λ t
λ t
= C1 e − + C2 e + +
λ± = −
a
2m
p
±
4Am2 k cos wt − mw 2 cos wt + aw sin wt
2
,
a2 − 2km + 2m2 w 2 − a2 a2 − 4mk
a2 − 4km
2m
,
(41)
(42)
4Am k − mw 2
2
,
a2 − 2km + 2m2 w 2 − a2 a2 − 4mk
2
xh (0) = C1 + C2 +
x˙ h (0) = λ− C1 + λ+ C2 +
•
4aAm2 w 2
a2 − 2km + 2m2 w 2 2 − a2
a2 − 4mk
(43)
.
(44)
Partikul¨
are L¨
osungen lassen sich mit verschiedenen Methoden finden. Diese sind die Methode der Variation
der Konstanten, die Methode des Exponentialansatzes, die Methode des Potenzreihenansatzes und die
Methode der Laplace-Transformation.
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Axiome
Dynamik in 1D
Energieerhaltung
Dynamik in 1D
•
F¨
ur a2 = 4mk gilt
x(t) = xh (t) + xih (t) ,
= C1 e
λ=
−λt
a
2m
+ C2 t e
−λt
(45)
4A 4a2 m cos wt − 4m3 w 2 cos wt + 4am2 w sin wt
+
,
2
a2 + 4m2 w 2
,
(47)
4A a2 m − 4m3 w 2
xh (0) = C1 +
,
a2 + 4m2 w 2 2
x˙ h (0) = C2 −
(46)
a
2m
2
C1 +
(48)
2
16aAm w
.
a2 + 4m2 w 2 2
(49)
Inhalt
Koordinaten
Galilei-Trafo
Axiome
Dynamik in 1D
Energieerhaltung
Dynamik in 1D
•
getriebener Kriechfall
a 2 >√
4mk: F¨
ur a = 3, k = 1, m = 1, A = 1, w = 1 und C1 = C2 = 1 finden wir
√
x(t) = e
•
−3−
2
5t
+e
−3+
2
5t
+ (sin wt)/3
getriebene ged¨
ampfte Schwingung a2 < 4mk: F¨
ur a = 0.1, 0.01, k = 1, m = 1, A = 1, w = 1 und
C1 = C2 = 1 finden wir x(t) = e (−0.05−i)t + e (−0.05+i)t + 10 sin t und
x(t) = e (−0.005−i)t + e (−0.005+i)t + 100 sin t
Inhalt
Koordinaten
Galilei-Trafo
Axiome
Dynamik in 1D
Dynamik in 1D
•
getriebener aperiodischer Grenzfall a2 = 4mk: F¨
ur a = 2, k = 1, m = 1, A = 1, w = 1, 2 und
C1 = C2 = 1 finden wir x(t) = e −t + 10 t e −t + (sin t)/2 und
x(t) = e −t + 10 t e −t + (16 sin 2t − 12 cos 2t)/100
Energieerhaltung
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Energieerhaltung
Energieerhaltung
Es soll f¨
ur die Kraft F = F (x) gelten. Daraus folgt
Z x
F (x) = −∂x V (x) ,
V (x) =
dx
0
0
F (x ) ,
(50)
−∞
wobei V (x) das Potential der Fraft F (x) ist.
•
Durch Integration der Bewegungsgleichung erhalten wir
m¨
x + ∂x V (x) = 0 ,
(51)
mx˙ x¨ + x˙ ∂x V (x) = 0 ,
!
d
mx˙ 2
+ V (x) = 0 ,
dt
2
(52)
mx˙ 2
2
+ V (x) = E ,
(53)
(54)
wobei E die Gesamtenergie des Systems ist.
•
Die Gr¨
oßen
T =
mx˙ 2
2
,
V = V (x)
heißen kinetische und potentielle Energie des Systems. Die Summe aus kinetischer und potentieller
Energie, E = T + V , des 1D Systems bleibt konstant.
(55)
Inhalt
Koordinaten
Galilei-Trafo
Axiome
Dynamik in 1D
Energieerhaltung
Energieerhaltung
•
F¨
ur den freien ged¨
ampften harmonischen Oszillator mit a ∈ < und k > 0 gilt
m¨
x + ax˙ + kx = 0 ,
2
(56)
mx˙ x¨ + a x˙ + k x x˙ = 0 ,
!
d
mx˙ 2
k x2
2
= −a x˙ ,
+
dt
2
2
(57)
E˙ < 0 .
(59)
Die Gesamtenergie des Systems nimmt folglich ab.
(58)

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