¨ STUTTGART – II. INSTITUT FUR ¨ THEORETISCHE PHYSIK UNIVERSITAT Prof. Dr. Udo Seifert, Dr. Andre Cardoso Barato, Dipl.-Phys. Eckhard Dieterich, Dipl.-Phys. Eva Zimmermann, David Hartich M.Sc., Sebastian Goldt M.Sc. Statistische Mechanik (WS 14/15) – Blatt 2 Aufgabe 4: Einstein-Festk¨ orper Ein Einstein-Festk¨orper (EF) besteht aus i = 1, . . . , N quantalen Oszillatoren der Frequenz ω. Der i-te Oszillator sei mit qi Quanten besetzt. Die Gesamtenergie betr¨agt dann N E= ω i=1 wobei Q = N i=1 qi 1 + qi 2 = ω N +Q , 2 (1) die Gesamtzahl der Quanten bezeichnet. a) Warum gilt f¨ ur die Gesamtzahl der Zust¨ande mit festem N und Q Ω(N, Q) = Q+N −1 Q (2 Punkte) ? (2) b) Berechnen Sie hieraus die Entropie σ(N, Q) ≡ ln Ω(N, Q) unter der Annahme N ≫ 1 und Q ≫ 1. Diskutieren Sie dieses Resultat in den beiden Grenzf¨allen N ≫ Q und Q ≫ N . (2 Punkte) Aufgabe 5: Polymermodell der frei verbundenen Kette In diesem Modell wird ein Polymer durch N dreidimensionale Bond-Vektoren ui = Ri − Ri−1 = b cos θi ez + b sin θi [cos ϕi ex + sin ϕi ey ] (3) mit der L¨ange b aufgebaut, wobei ex , ey , ez kartesische Einheitsvektoren bezeichnen: 1 0 0 1 R2 0 1 0 1 R 1 0 0 1 1 0 0R 1 11 00 RN 1 0 0 1 R N−1 3 1 R0 Ein Mikrozustand α wird also durch die Angabe der 2N Winkel charakterisiert: α = (θ1 , ϕ1 , θ2 , ϕ2 . . . θN , ϕN ). Jede Orientierung ui /b sei auf der Einheitskugel gleichwahrscheinlich, d.h. eine Gr¨oße h ({θk , ϕk }) wird durch die Integration 1 h= (4π)N N 2π π sin θk dθk k=1 0 dϕk h ({θk , ϕk }) (4) 0 gemittelt. a) Zeigen Sie ui · uj = b2 δij . (1 Punkt) 2 b) Berechnen Sie hieraus das Quadrat des mittleren End-zu-End Abstands RE ≡ (RN − R0 )2 . Diskutieren Sie die N -Abh¨angigkeit dieser Gr¨oße. (1 Punkt) c) Warum ist die Verteilung p(z) f¨ ur die z-Ausdehnung des gesamten Polymers durch N die Gr¨oße p(z) ≡ δ(z − b i=1 cos θi ) bestimmt? (2 Punkte) d) Berechnen Sie p(z) f¨ ur große N mit Hilfe der Fourierdarstellung der Deltafunktion (DF) und der Sattelpunktsmethode (SP). (2 Punkte) Hinweis: Im Rahmen der SP gilt folgende N¨aherung: ∞ −∞ ef (k ) dk f (k) e ≈ 2π (2π|f ′′ (k ∗ )|)1/2 ∗ , (5) wenn f (k) an der Stelle k ∗ ein Maximum hat. e) Berechnen Sie p(z) mit Hilfe des Zentralen Grenzwertsatzes (ZG), indem Sie sich zun¨achst u ¨berlegen, dass die ui unabh¨angig sind, und dann aus ui und (∆ui )2 ≡ (ui − ui )2 die Verteilung p(z) bestimmen. (2 Punkte)