D-MATH Dr. Vasile Gradinaru Raoul Bourquin Numerische Methoden FS 2015 Serie 4 ¨ Abgabe: Dienstag/Mittwoch, 31.3.2015/1.4.2015, in den Ubungsgruppen Deadline: Mittwoch 1.4.2015 um 23:59 Koordinatoren: Raoul Bourquin, HG J 46, [email protected] Webpage: http://www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/fs2015/other/nm_pc Version: 1.0 1. Integration auf dem Torus Sei T ⊂ R3 der dreidimensionale Torus, der entsteht, wenn man einen Kreis mit Radius r0 mit Abstand R > r0 um die z-Achse rotieren l¨asst. Der innere bzw. der ¨aussere Radius betr¨agt also R − r0 bzw. R + r0 . Wir betrachten die Funktion: 2 ( 1 + cos π rr2 , r < r0 0 f (x, y, z) := 0, r ≥ r0 , qp ( x2 + y 2 − R)2 + z 2 . R a) Berechnen Sie das Integral T f (x, y, z)dxdydz analytisch f¨ ur R = 0.6 and r0 = 0.3. wobei r := Hinweis: Verwenden Sie die Transformation:     (R + r cos φ) cos t x y  = T (r, φ, t) =  (R + r cos φ) sin t  . r sin φ z b) Implementieren Sie eine Python-Funktion mcquad(k), die das Integral numerisch mit der Monte-Carlo-Methode mit 10k Zufallszahlen berechnet. Hinweis: Verwenden Sie das Template 1 torus Template.py c) Verwenden Sie mcquad(k) mit k = 1, 2, 3, 4, 5, 6 und berechnen Sie den absoluten und relativen Fehler der Approximationen. d) Bestimmen und printen Sie das Vertrauensintervall. Bitte wenden! 2. Monte-Carlo-Quadratur in mehreren Dimensionen Wir betrachten die Funktion Z |x1 + · · · + xd |2 dx, x∈[0,1]d a) Implementieren Sie eine Python-Funktion mcquad(d,k), die das obige Integral mit der Monte-Carlo-Methode mit 10k Zufallszahlen numerisch berechnet. Hinweis: Verwenden Sie das Template 2 mcmd Template.py b) Verwenden Sie diese Funktion mit k = 6 und d = 10 f¨ ur M = 100 verschiedene Experimente. Bestimmen Sie Mittelwert und Varianz. Welche Aussage l¨asst sich daraus u ¨ber die Genauigkeit der Approximation ableiten? c) Bestimmen und printen Sie das Vertrauensintervall f¨ ur d = 2, . . . , 10 und k = 6 und M = 100. Siehe n¨ achstes Blatt! 3. Kernaufgabe: Kompressionsfaktor eines realen Gases Modellierung der Physik Der Kompressionsfaktor eines Gases ist definiert als Z := pV nRT wobei p der Druck (Nm−2 ), V das Volumen (m3 ), T die Temperatur (K) und n die Stoffmenge (mol) ist. Die universelle Gaskonstante R hat den Wert 8.314462 J mol−1 K−1 . F¨ ur ein ideales Gas gilt Z = 1. Bei einem realen Gas entwickelt man Z in eine Reihe Z = 1 + B2 n V + B3 n 2 V + ... wobei jeder Term mit Faktor Bi die Interaktion zwischen i Gasteilchen darstellt was als Ursache f¨ ur die Abweichung vom idealen Verhalten interpretiert werden kann. Weil Kollisionen zwischen vielen Teilchen gleichzeitig selten sind, gen¨ ugt es Zwei- und allenfalls noch Dreiteilcheninteraktionen zu ber¨ ucksichtigen. Es gilt f¨ ur den Koeffizient Z ∞ Z ∞ U (r) r2 dr B2 = f (r)dr = 1 − exp − kB T 0 0 wobei das Potential U (r) die Interaktion zwischen zwei Atomen modelliert. Wir verwenden hier das Lennard-Jones Potential σ 12 σ 6 U (r) = 4ε − . r r Aufgabenstellung Berechnen Sie den Koeffizienten B2 aus seiner Definition. Es soll die Monte-Carlo Technik zur Integration verwendet werden. Wir betrachten das Gas CO2 mit ε = 140 cm−1 und σ = 0.3943 nm. Die Boltzmann-Konstante ist 0.693 cm−1 K−1 . a) Plotten Sie das Potential U (r) gegen r auf dem Intervall [0.2, 2] nm. b) Plotten Sie den Integranden f (r) auf dem selben Intervall und f¨ ur 20 verschiedene Temperaturen in Bereich [150, 550] K. c) Das Integral geht u ur die Monte-Carlo Methode ¨ber das gesamte Intervall [0, ∞[. F¨ ben¨ otigt man aber einen endlichen Integrationsbereich. Untersuchen Sie deshalb analytisch das Verhalten von f (r) f¨ ur r → 0 sowie r → ∞. d) Berechnen Sie den Wert von B2 mit N = 500000 Samplepunkten in [0.01, 10] nm f¨ ur eine Temperatur von 300 K.