ϕ ϑ ϱ - Universität Rostock

Hilfsblätter zur "Theoretischen Elektrotechnik"
Der Zusammenhang zwischen kartesischen, Kreiszylinder- und Kugelkoordinaten
z
Kartesische Koordinaten
Zylinderkoordinaten
Kugelkoordinaten
x
ϱ cos ϕ
r sin ϑ cos ϕ
y
ϱsin ϕ
r sin ϑsin ϕ
z
z
ϱ
r cos ϑ
ϕ
ϕ
z
z
r cos ϑ
√ x2 + y2 + z2
√ϱ 2 + z2
r
ϱ
z
ϑ
√ x2 + y2
arctan
ϑ r
y
ϕ
x
ϱ
y
x
x2 + y 2
√
arctan
z
arctan
y
x
Dr. Dirk Hecht, Universität Rostock, Institut für Allgemeine Elektrotechnik, April 2015
arctan
ϕ
r sin ϑ
ϕ
Hilfsblätter zur "Theoretischen Elektrotechnik"
Kreiszylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten
z
ϱ
⃗r
ϕ
x
z
⃗e z
⃗e r
⃗e ϕ
⃗e ϕ
⃗e ϱ
ϑ
y
⃗r
ϕ
⃗e ϑ
y
x
Zylinderkoordinaten: ϱ, j, z
Kugelkoordinaten: r, ϑ, j
Die Einheitsvektoren zeigen in Richtung wachsender Koordinaten.
Dr. Dirk Hecht, Universität Rostock, Institut für Allgemeine Elektrotechnik, April 2015
Hilfsblätter zur "Theoretischen Elektrotechnik"
Der Zusammenhang zwischen den Vektorkomponenten in verschiedenen Koordinatensystemen
Kartesische Koordinaten
Zylinderkoordinaten
Kugelkoordinaten
Ax
A ϱ cos ϕ − Aϕ sin ϕ
A r sin ϑ cos ϕ + A ϑ cos ϑ cos ϕ − A ϕ sin ϕ
Ay
Aϱ sin ϕ + A ϕ cos ϕ
Ar sin ϑsin ϕ + Aϑ cos ϑsin ϕ + A ϕ sin ϕ
Az
Az
A r cos ϑ − A ϑ sin ϑ
A x cos ϕ + A y sin ϕ
Aϱ
A r sin ϑ + A ϑ cos ϑ
−A x sin ϕ + A y cos ϕ
Aϕ
Aϕ
Az
Az
A r cos ϑ − Aϑ sin ϑ
A x sin ϑ cos ϕ + A y sin ϑsin ϕ + A z cos ϑ
A ϱ sin ϑ + A z cos ϑ
Ar
Ax cos ϑcos ϕ + A y cos ϑ sin ϕ − A z sin ϑ
Aϱ cos ϑ − A z sin ϑ
Aϑ
−A x sin ϕ + A y cos ϕ
Aϕ
Aϕ
Setzt man an Stelle der Vektorkomponenten die Einheitsvektoren ein, so erhält man den Zusammenhang zwischen den
Einheitsvektoren in den verschiedenen Koordinatensystemen.
Dr. Dirk Hecht, Universität Rostock, Institut für Allgemeine Elektrotechnik, April 2015
Hilfsblätter zur "Theoretischen Elektrotechnik"
Linien-, Flächen- und Volumenelemente in Kreiszylinder- und Kugelkoordinaten
z
z
r sin ϑ d ϕ
r si
ϑ
y
dϕ
ϱ
x
r
dz
dϱ
rdϑ
0
dr
nϑ d ϕ
dϑ
y
0
ϱ dϕ
ϕ
dϕ
x
dV = d ϱ⋅ϱ d ϕ⋅dz
Dr. Dirk Hecht, Universität Rostock, Institut für Allgemeine Elektrotechnik, April 2015
dV = dr⋅r sin ϑ d ϕ⋅r d ϑ
Hilfsblätter zur "Theoretischen Elektrotechnik"
Vektoranalytische Ausdrücke in verschiedenen Koordinatensystemen
Kartesische Koordinaten
Zylinderkoordinaten
Kugelkoordinaten
grad Φ
⃗e x ∂ Φ + ⃗e y ∂ Φ + e⃗ z ∂ Φ
∂x
∂y
∂z
1
⃗e ϱ ∂ Φ + ⃗e ϕ ϱ ∂ Φ + ⃗e z ∂ Φ
∂ϱ
∂ϕ
∂z
1
1 ∂Φ
⃗e r ∂ Φ + ⃗e ϑ ∂ Φ + ⃗e ϕ
∂r
r ∂ϑ
r sin ϑ ∂ ϕ
⃗
div A
∂ Ax
∂ Ay
∂ Az
+
+
∂x
∂y
∂z
∂ Az
1 ∂
1 ∂ Aϕ
ϱ ∂ ϱ (ϱ A ϱ ) + ϱ ∂ ϕ + ∂ z
1 ∂ 2
1 ∂
1 ∂ Aϕ
r
A
+
A
sin
ϑ
+
(
)
ϑ
r
r sin ϑ ∂ ϑ
r sin ϑ ∂ ϕ
r2 ∂ r
⃗e x
⃗
rot A
(
∂ Az
+ ⃗e y
−
∂y
∂ Ax
(
+ ⃗e z
∂z
∂ Ay
(
∂x
∂ Ay
−
)
∂z
∂ Az
−
(
+
)
∂x
∂ Ax
∂y
+
)
(
)
)
∂ Aϕ
1 ∂ Az
⃗e ϱ ϱ
−
+
∂ϕ
∂z
∂ Az
∂ Aϱ
+ ⃗e ϕ
−
+
∂ϱ
∂z
(
+ ⃗e z
(
1 ∂
1 ∂ Aϱ
ϱ
A
−
(
)
ϕ
ϱ ∂ϱ
ϱ ∂ϕ
)
(
)
(
)
1
∂ A sin ϑ − ∂ A ϑ +
(
)
∂ϕ
r sin ϑ ∂ ϑ ϕ
1 1 ∂ Ar
+ ⃗e ϑ
− ∂ ( r A ϕ) +
∂
ϕ
r sin ϑ
∂r
⃗e r
)
+ ⃗e ϕ
(
∂A
1 ∂
( r A ϑ ) − ∂ ϑr
r ∂r
)
ΔΦ
∂ 2 Φ + ∂2 Φ + ∂ 2 Φ
∂ x2
∂ y2
∂ z2
1 ∂
∂ Φ + 1 ∂2 Φ + ∂ 2 Φ
ϱ
ϱ ∂ϱ ∂ϱ
ϱ2 ∂ ϕ 2 ∂ z2
1 ∂ 2 ∂Φ
1
1
∂ sin ϑ ∂ Φ +
∂2 Φ
r
+
∂ϑ
∂r
r2 ∂ r
r 2 sin ϑ ∂ ϑ
r 2 sin 2 ϑ ∂ ϕ 2
⃗
ds
⃗e x dx + ⃗e y dy + ⃗e z dz
⃗e ϱ d ϱ + ⃗e ϕ ϱ d ϕ + ⃗e z dz
⃗e r dr + ⃗
e ϑ r d ϕ + ⃗e ϕ r sin ϑ d ϕ
(
)
Dr. Dirk Hecht, Universität Rostock, Institut für Allgemeine Elektrotechnik, April 2015
(
)
(
)
Hilfsblätter zur "Theoretischen Elektrotechnik"
Formeln zur Vektoralgebra und Vektoranalysis
⃗ B×
⃗ C)
⃗ = B(
⃗ A⋅
⃗ C)
⃗ − C(
⃗ A⋅
⃗ B)
⃗
A×(
⃗ B)
⃗ = rot A+rot
⃗
⃗
rot( A+
B
⃗ = c rot A
⃗
rot(c A)
;
⃗ = Φ rot A
⃗ + grad Φ× A
⃗
rot(Φ A)
grad (Φ + Ψ ) = grad Φ + grad Ψ
c = const .
⃗ B)
⃗ =A
⃗ div ⃗
⃗ div A
⃗ + (B
⃗ grad) A
⃗ − (A
⃗ grad ) ⃗
rot( A×
B−B
B
grad (Φ Ψ) = Φ grad Ψ + Ψ grad Φ
⃗ = grad div A
⃗ −ΔA
⃗
rot rot A
grad (c Φ) = c grad Φ
⃗ B)
⃗ = (A
⃗ grad ) B
⃗ + ( Bgrad)
⃗
⃗ + A×rot
⃗
⃗ + B×rot
⃗
⃗
grad ( A⋅
A
B
A
grad r =
⃗r
= ⃗e r
r
mit
rot [Φ(r)⃗r = ⃗
0]
⃗r
1
1
=− 3 = − 2 ⃗
er
r
r
r
rot(grad Φ) = ⃗0
⃗ grad) B
⃗ = (A
⃗ grad B )⃗
⃗
⃗ grad B )⃗e
(A
e y + (A
x e x + ( A grad B y )⃗
z
z
r = √ x 2 +y 2+z 2
⃗ =ΔA ⃗
ΔA
e y + Δ Az ⃗
ez=
x e x + Δ Ay ⃗
grad Φ(r) = Φ '(r) ⃗e r
grad
;
;
grad [ln (r)] =
⃗r
1
= ⃗
e
2
r r
r
⃗ B)
⃗ = div A
⃗ + div B
⃗ ; div (c A)
⃗ = cdiv A
⃗
div ( A+
=
(
∂2 A x
∂ x2
c = const .
+
∂2 A x
∂ y2
+
∂ 2 Ax
∂ z2
) (
(
⃗e x +
+
⃗ = Φ div A
⃗ +A
⃗ grad Φ
div (Φ A)
∂2 A y
∂x2
∂2 A z
∂ x2
+
+
∂2 A y
∂ y2
∂2 A z
∂ y2
+
+
∂ 2 Ay
∂ z2
∂ 2 Az
∂ z2
)
)
⃗e y +
⃗e z
⃗ B)
⃗ =B
⃗ rot A
⃗ −A
⃗ rot B
⃗
div ( A×
div ⃗
er=
2
r
;
div ⃗r = 3
mit
div [ Φ(r)⃗r ] = div ⃗r⋅Φ(r) + r⋅Φ '(r)
⃗r = x ⃗e x + y ⃗e y + z ⃗e z
;
⃗ =0
div rot A
Dr. Dirk Hecht, Universität Rostock, Institut für Allgemeine Elektrotechnik, April 2015
STOKESscher Integralsatz:
GAUSSscher Integralsatz:
⃗ = ∬ rot H
⃗
⃗ ds
⃗ dA
∮ H⋅
⃗ = ∭ div ⃗
B dV
∯ B⃗⋅dA

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