Lösung zur Zusatzaufgabe Es sei das Vektorfeld F~ : R3 → R3 gegeben durch   x  y F~ (~x) =  x2 + y 2 + z 2  x mit ~x =  y  . z  Man berechne den Fluss von F~ durch die durch x2 + y 2 = 4, 0 ≤ y, 0 ≤ z ≤ x2 y beschriebene Fläche A mit Hilfe des Oberflächenintegrals 2. Art, das heißt man bestimme H ~ ~ F dA. Dabei ist die Normale ~n der Fläche A gemäß F~ · ~n > 0 zu orientieren. A Hinweis: Vorteilhaft ist eine auf Zylinderkoordinaten basierende Parametrisierung von A. Lösung: Wir wollen uns zunächst überlegen, welche Gestalt die Fläche A hat und wie ihre Projektion in die xy-Ebene aussieht. Die Gleichung x2 + y 2 = 4 beschreibt im Raum die Mantelfläche des Zylinders mit Radius 2 und mit der y-Achse als Symmetrieachse. Unsere Fläche A ist somit ein Teil dieser Mantelfläche und steht daher senkrecht auf der xy-Ebene. Wegen der Bedingung y ≥ 0 liegt die Fläche A auf dem Teil der Zylindermantelfläche, der im nichtnegativen y-Bereich liegt. Die Projektion der Fläche A in die xy-Ebene ist damit nur der obere Halbkreis um den Ursprung mit dem Radius 2, und zwar nur die Halbkreislinie (!), weil die Fläche A wie schon erwähnt senkrecht zur xy-Ebene liegt. In z-Richtung wird die Fläche A nach unten durch die xy-Ebene selbst begrenzt und nach oben durch die Fläche mit der Gleichung z = x2 y. Die folgende Skizze zeigt links die Lage der Fläche A im Raum und rechts ihre Projektion in die xy-Ebene. z y 2 −2 0 2 x −2 y 4 4 x Nun kommen wir zur Berechnung des Oberflächenintegrals. Dazu wird als erstes eine Parameterdarstellung der Fläche A benötigt. Gemäß des Hinweises werden wir Zylinderkoordinaten (r, ϕ, z) verwenden: x = r cos(ϕ), y = r sin(ϕ), z = z. Aus x2 + y 2 = 4 folgt zunächst (r cos(ϕ))2 + (r sin(ϕ))2 = 4 1 ⇒ r2 = 4 ⇒ r = 2. Das heißt, r hat für alle Punkte, die zu unserer Fläche A gehören, den festen Wert 2, während ϕ und z die freien Parameter sind. Aus der Projektion der Fläche A in die xy-Ebene entnehmen wir 0 ≤ ϕ ≤ π. Für die Grenzen für z erhalten wir r=2 0 ≤ z ≤ x2 y = (r cos(ϕ))2 · r sin(ϕ) = 8 cos2 (ϕ) sin(ϕ). Insgesamt ergibt sich als Parameterdarstellung unserer Fläche A (inklusive der Grenzen für die Parameter):   2 cos(ϕ) ~x(ϕ, z) =  2 sin(ϕ)  , 0 ≤ ϕ ≤ π, 0 ≤ z ≤ 8 cos2 (ϕ) sin(ϕ). z Als Ableitungsvektoren bzgl. ϕ bzw. nach z erhalten wir     0 −2 sin(ϕ) ~xϕ =  2 cos(ϕ)  , ~xz =  0  . 1 0 Das Kreuzprodukt dieser beiden Vektoren liefert einen Normalenvektor der Fläche:   2 cos(ϕ) ~xϕ × ~xz =  2 sin(ϕ)  . 0 Wir haben nun zu entscheiden, ob das der „richtige“ Normalenvektor ist oder ob wir den entgegengesetzten nehmen müssen. Laut Aufgabenstellung soll derjenige Normalenvektor genommen werden, für den die Bedingung F~ · ~n > 0 erfüllt ist. Ersetzen wir im Vektorfeld F~ die Variable x durch 2 cos(ϕ) und die Variable y durch 2 sin(ϕ), erhalten wir     2 cos(ϕ) 2 cos(ϕ) F~ (~x(ϕ, z)) · (~xϕ × ~xz ) =  2 sin(ϕ)  ·  2 sin(ϕ)  = 4 cos2 (ϕ) + 4 sin2 (ϕ) = 4 > 0. 0 4 + z2 Das heißt, wenn wir ~n = ~xϕ × ~xz setzen, ist die Bedingung F~ · ~n > 0 bereits erfüllt, wir müssen RR ~ erhalten wir, indem den Vektor also nicht negieren. Das gesuchte Oberflächenintegral A F~ dA wir das eben berechnete Skalarprodukt F~ · ~n in den oben angegebenen Grenzen für ϕ und z integrieren: ZZ Z π Z 8 cos2 (ϕ) sin(ϕ) ~ = 4 dz dϕ F~ dA A = = Z ϕ=0 π ϕ=0 Z π z=0 8 cos 4z|z=0 2 (ϕ) sin(ϕ) 32 cos2 (ϕ) sin(ϕ) dϕ ϕ=0 (TW) = = π 32 3 − cos (ϕ) 3 ϕ=0 64 . 3 2 dϕ