Schiffspropeller - Aufgabe Nr. 1

Institut für
Entwerfen von Schiffen und Schiffssicherheit
Übung zur Vorlesung
Schiffspropeller
SS 2014
Prof. Dr.-Ing. Stefan Krüger
Dipl.-Ing. Christoph Steinbach
Dipl.-Ing. Arne Falkenhorst
Übung 1: Geschwindigkeitsverteilung auf 2D-Tragflügelprofilen
Übung Schiffspropeller SS2014
Grundsätzliches
Im Rahmen der Übung Schiffspropeller soll von den Teilnehmern der Lehrveranstaltung zu verschiedenen
Fragestellungen ein Programm geschrieben werden. Hierzu werden drei Aufgaben ausgegeben.Termine
und Ablauf der Übung ist dem auf der Homepage vorhandenen Ablaufplan zu entnehemen.
Die Aufgaben soll in einer höheren Programmiersprache durchgeführt werden. Generell wird jedoch
dringend empfohlen die Übungen in Fortran zu bearbeiten, da wir nur hierzu Programmierhilfe leisten
können.
Fortran Compiler werden in allen gängigen Linux Distributionen (z.B. g95, gfortran) zur Verfügung gestellt. Unter Windows kann der Fortran Compiler von Silverfrost empfohlen werden
(http://www.silverfrost.com/11/ftn95/overview.aspx), der für akademische Zwecke kostenlos ist. Die
Lösungen der Aufgaben sollen in vernünftiger schriftlicher Form (ca. ein bis zwei DIN A4 Seite) ausgearbeitet werden, wobei die wesentlichen Ergebnisse wenn möglich graphisch aufbereitet werden sollen.
Für die graphische Aufarbeitung der Lösungen wird das Programm gnuplot empfohlen, welches sowohl unter Linux als auch unter Windows zur Verfügung steht. Die Teilnahme an der Übung ist nicht
verpflichtend, jedoch werden die abgegebenen Lösungen bewertet und als Teil der Prüfungsleistung
berücksichtigt. Die Erfahrung zeigt auch, dass Programmierübungen wesentlich zum Verständnis der
Vorlesungsinhaltes beiträgen. Die Aufgaben können in Gruppen von 2 Personen bearbeitet werden.
Aufgabenstellung
Die Berechnung der Geschwindigkeitsverteilung um ein 2D-Tragflügelprofil kann unter anderem mit
Hilfe der linearen Profiltheorie durchgeführt werden. Hierzu wird das Umströmungsproblem in zwei
Teile aufgespalten, die Umströmung des Profiltropfen für die Verdrängungswirkung des Profils und die
Umströmung der Skelettlinie des Profils für die Bestimmung des Auftriebs. Die beiden Anteilen werden anschließend zu der Gesamtlösung superpositioniert. Eine verbreitete Profilserie ist die vierziffrige
NACA-Serie deren Tropfenform bzw. Skelettlinie durch analytische Funktionen beschrieben werden. Die
Gleichung der Dickenlinie YD (x) der vierziffrigen NACA Profiltropfen lautet:
√
YD (x) = YDmax (a0 x + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 )
(1)
während die Gleichung der Skelettlinie YS (x) gegeben ist durch:
YS (x) = 1 −
YS (x) = 1 −
xf − x
xf
2 !
x − xf
1 − xf
2 !
, x ≤ xf
(2)
, x ≥ xf
(3)
Die Profilform setzt sich aus Skelettlinie und Tropfenform durch Überlagerung der beiden Anteile
zusammen.
Arne Falkenhorst
Schiffspropeller
[email protected]
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Übung Schiffspropeller SS2014
YSaugseite (x) = YS (x) + YD (x)
(4)
YDruckseite (x) = YS (x) − YD (x)
(5)
Es soll ein Programm geschrieben werden mit dem die normierte Geschwindigkeitsverteilung
auf der Profilkontur bestimmt werden kann.
UT
U0
( Cx )
Mit Hilfe dieses Programms sollen folgende Darstellungen erzeugt werden:
• Normierte Geschwindigkeitsverteilung (-5,0,5,10,20 deg - jeweils alle Profile in einem Plot für einen
Anstellwinkel gegenübergestellt - Größe des Plots DIN A4-quer)
• Verläufe des Druckbeiwertes (-5,0,5,10,20 deg - jeweils alle Profile in einem Plot für einen Anstellwinkel gegenübergestellt - Größe des Plots DIN A4-quer)
• Für einen Anstellwinkel von 0 deg und 5 deg den Plot der ersten 4 Birnbaumkoeffizienten
• Verlauf des Auftriebsbeiwertes und des Momentenbeiwertes um die Vorkante für den Bereich -10
deg bis +10 deg
• Bestimmen sie außerdem für eines der Profile die Ergebnisse für eine Anströmgeschwindigkeit von
10 m
s und eine Sehnenlänge von 3m
Die zu verwenden Profile sind:
• NACA 0006
• NACA 0020
• NACA 2410
• NACA 4412
Variieren Sie für sich die Anzahl der unterschiedlichen Koeffizienten und die Anzahl der Stützstellen
und wählen Sie begründet ein letztendliches Setup für Ihre Berechnungen.
Einige wichtige Gleichungen
Die normierte Geschwindigkeit um ein Profil ist gegeben durch:
1 + Uq ± Uγ
UT
= p
U0
1 + q2
(6)
Für den Tropfenanteil der Geschwindigkeit Uq gilt:
Uq (x) =
Arne Falkenhorst
Schiffspropeller
1
π
Z
0
1
q(ξ)
dξ
x−ξ
(7)
[email protected]
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Übung Schiffspropeller SS2014
Die in der Darstellung enthaltenen normierte Quellbelegung q(x) folgt direkt aus der Strömungsrandbedingung am Profiltropfen:
q(x)
dYD (x)
=
2U0
dx
q(x) =
(8)
Wechselt man auf die trigonometrische Variable x = 12 (1 − cos τ ), 0 ≤ τ ≤ π bzw. ξ = 12 (1 − cos θ), 0 ≤
τ ≤ π und entwickelt die Dickenlinie in eine Fourierreihe gilt
N
1X
bj · sin(jτ ).
2 j=1
YD (τ ) =
(9)
Für die Ableitung der Dickenlinie ergibt sich dann mit der Kettenregel
N
dYD (x)
dYD (τ ) dτ
1X
dτ
=
=
j · bj · cos(jτ ) .
dx
dτ dx
2 j=1
dx
(10)
Die Ableitung der Variablentransformation ergibt
2
dτ
=−
dx
sin(τ )
bzw.
dτ = −
2
dx.
sin(τ )
(11)
Setzt man diese Ergebnisse in die oben gegebene Integralgleichung für die quellinduzierte Geschwindigkeit ein und kürzt die Terme folgt
1
Uq (τ ) =
π
Z
1
0
dYD (θ)
dθ dθ
1
=
cos τ − cos θ
π
Z
0
1
PN
j=1
j · bj · cos(jτ )dθ
cos τ − cos θ
.
(12)
Dies ist das s.g. Glauertsche Integral dessen Summenglieder die Lösung besitzen
Uq (τ ) =
N
X
j=1
j · bj ·
sin(jτ )
.
sin(τ )
(13)
Für die durch die Wirbelbelegung der Skelettlinie induzierte Geschwindigkeit gilt
Uγ (τ ) =
N
X
τ
γ
(τ ) = A0 · cot( ) +
Aj · sin(jτ ).
2U0
2
j=1
(14)
Die Glieder dieser unter dem Namen Birnbaumreihe bekannten Reihe lassen sich einfach durch numerische Differentiation der Skelettlinie nach x und numerischer Integration folgender Integrale berechnen.
Z
1 π dYs (x)
A0 = β −
dθ,
(15)
π 0
dx
und für die anderen Terme
2
An =
π
Z
0
π
dYs (x)
cos(nθ)dθ.
dx
(16)
Eingesetzt in die Gleichung für die Wirbel induzierte Geschwindigkeit kann Uγ (x) bestimmt werden.
Arne Falkenhorst
Schiffspropeller
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Übung Schiffspropeller SS2014
Ausgezeichnete Werte
Für zwei Punkte lassen sich nun ausgezeichnete Werte bestimmen nämlich die Lage des Staupunktes
und die Geschwindigkeit an der Vorkante (das Cotangensglied der Birnbaum-Reihe wird hier singulär).
Leiten Sie analytisch die Formel für die Lage des Staupunktes her. Dort muss gelten
UT
= 0.
U0
(17)
So dass die Gleichung nach θ umgestellt werden kann:
0=
1 + Uq ± Uγ
p
.
1 + q¯2
(18)
Gegebenenfalls sind die Sinus und Cosinus Funktionen durch ihre Reihendarstellung zu ersetzen und
Terme höherer Ordnung können vernachlässigt werden. Leiten sie außerdem eine Formel für den exakten
Wert der Geschwindigkeit an der Vorkante (τ = 0) her.
UT
1 + Uq (τ = 0) ± Uγ (τ = 0)
p
(τ = 0) =
.
U0
1 + q¯(τ = 0)2
(19)
Hier ist gegebenenfalls die Regel von L’Hospital anzuwenden.
Verwenden sie diese Herleitung in der Programmierübung.
Hinweise
• Es ist sinnvoll alle Berechnungen normiert auf die Sehnenlänge C = 1 und die Anströmgeschwindigkeit U0 = 1 durchzuführen
• Erzeugen Sie sich ein Gitter mit n Stützstellen und konstantem ∆τ
• Bleiben Sie im τ -System und ordnen Sie jedem τ -Wert ein x-Wert zu.
Hinweise
Gängiger und in der Vorlesung angesprochenen Literatur:
• Dietrich Hummel - Aerodynamik I/II (ISBN 3-936148-56-2/3-936148-07-4)
• Abbot/Doenhoff - Theory of Wing Sections
• Isay - Propellertheorie
Arne Falkenhorst
Schiffspropeller
[email protected]
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