Fachbereich Grundlagenwissenschaften Prof. Dr. Viola Weiß Wintersemester 2010/2011 Fachhochschule Jena University of Applied Sciences Jena Mathematik II für MB und ME Übungsaufgaben Serie 1: Integralrechnung 1. Berechnen Sie folgende Integrale Z Z 2 dx , b) 2(ex + 5) dx , a) √ Z x Z 6 − x2 3 x d) dx , e) (2 sin x + 3 cos x) dx , 3x Z Z 4 dx , h) sin(3x) dx , g) 1 + x2 2. Berechnen Sie durch geeignete Substitution Z Z √ 1 3 5x − 1 dx , dx , b) a) 3 Z √ Z (2 −2 4x) 3x dx , e) x x2 − 1 dx , d) 3 2 + x Z Z ln x 5 dx , g) cos x · sin x dx , h) x Z Z 1 x dx , k) dx , j) 2 2 x +7 x + 2x + 2 Z q √ x x dx , Z ex+a dx , Z sin(mx) · sin(nx) dx , m 6= ±n . c) f) i) c) Z f) Z √ x sin(x2 ) dx , 1 + cos2 x · sin(2x) dx , 1 dx , 2+5 x Z x dx . 2 x + 2x + 2 Z i) l) 3. Berechnen Sie durch partielle Integration die Gesamtheit aller Stammfunktionen zu a) f (x) = x √sin 5x , e) f (x) = x · ln x , b) f (x) = x2 sin x , f) f (x) = arctan x , c) f (x) = ex sin x , d) f (x) = (ln x)2 , g) f (x) = sin x · cos x . 4. Gesucht sind mit Hilfe von Partialbruchzerlegung alle Funktionen F (x), deren erste Ableitungen gegeben sind durch a) c) e) 2x − 1 , 2 x − 3x + 2 3x + 2 , F ′ (x) = x(x + 1)3 1 , F ′ (x) = 4 x + 5x2 + 4 F ′ (x) = x4 + 1 , x3 − x2 + x − 1 1 F ′ (x) = 3 , x + 3x2 − 4 x2 − 5 F ′ (x) = . (x − 1)(x2 − 2x + 2) F ′ (x) = b) d) f) 5. Berechnen Sie den Wert der folgenden bestimmten Integrale: a) Z1 d) Zπ (x − 2ex ) dx , b) Ze e) Z1 sin 5x · cos 7x dx , −π π 2 g) j) Zπ 0 0 x ln x dx , c) Ze2 f) Z2 1 0 Z √ 3 cos x dx , 1 + sin2 x x · cos x dx , h) k) 1 − 2x ln x dx , x2 1 dx , 2 x + 2x + 5 −1 Z0.5 x2 dx , x6 + 4 0 3x dx , 1 + 9x −0.5 Z0 i) Ze l) Z1 sin(ln x) dx , 5x 1 |2x − 1| dx , −1 −1 1 e−|x| dx . 6. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von der Kurve y = 4x(x2 − 4) und der x-Achse im Intervall −4 ≤ x ≤ 4 eingeschlossen wird. x 7. Berechnen Sie den Inhalt des Sektors, der durch die folgenden drei Kurven y1 (x) = , 2 √ x y2 (x) = , y3 (x) = x begrenzt wird. 3 8. Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn die Fläche zwischen der Funktion f und der x-Achse in dem Intervall [a, b] um die x-Achse rotiert: a) f (x) = x2 , a = 1 , b = 2 , √ b) f (x) = x + 1 , a = −1 , b = 3 . 9. Berechnen Sie das Volumen des Drehellipsoids, welches durch Rotation der Ellipse mit 2 2 der Gleichung xa2 + yb2 = 1 um die x-Achse entsteht. 10. Berechnen Sie die Mantelfläche des Rotationskörpers, der entsteht durch Rotation der Funktion y = x3 um die x-Achse im Bereich 1 ≤ x ≤ 2. Ermitteln Sie seine gesamte Oberfläche. 11. Berechnen Sie die Bogenlängen der folgenden Kurvenstücke: a) b) c) 3 y = x2 , 0<x<4, x(t) = a(t − sin t) , y(t) = a(1 − cos t) , 0 < t < 2π , a > 0 , (Rollkurve), r(ϕ) = a(1 + cos ϕ) , 0 < ϕ < π , a > 0 , (Kardiode). 12. Wo liegt der Schwerpunkt eines Viertelkreises im 1. Quadranten mit Mittelpunkt in (0, 0) und Radius R? 13. Es soll die Arbeit berechnet werden, die benötigt wird, um ein an der Tischkante hängendes Seil der Länge L auf den Tisch zu ziehen. Die angreifende Kraft muß einerseits ) und andererseits die die Gewichtskraft des hängendes Teils vom Seil (FG (s) = mg · L−s L Reibungskraft des auf dem Tisch liegenden Teils (FR (s) = µ · mg · Ls ) überwinden. Dabei sei s die Länge des auf dem Tisch liegenden Seils (0 ≤ s ≤ L), m die Gesamtmasse des Seils, µ der Gleitreibungskoeffizient auf der Tischoberfläche und g = 9, 81 sm2 die Erdbeschleunigung. Berechnen Sie die zu erbringende Arbeit. 14. Ein Kanal hat einen parabelförmigen Querschnitt. Wieviel Prozent der ursprünglichen Wassermenge führt der Kanal noch, wenn die Wasserhöhe auf 50% absinkt? 15. Warum sind folgende Integrale uneigentliche Integrale? Berechnen Sie ihren Wert: Z2 a) ln(x − 1) dx , Z∞ b) d) 0 2xe c) −2x dx , e) Z∞ −∞ 2 e −|x| e−x dx , 0 0 1 Z∞ sin x dx , Z∞ dx , f) Z6 −1 1 p dx . |x − 2| 16. Eine Masse m wird aufgrund der Gravitation abhängig von der Entfernung s vom Erdmitangezogen. Dabei ist M = 5, 98 · 1024 kg die Erdmasse telpunkt mit der Kraft F = G Ms·m 2 2 und G = 6, 670 · 10−11 Nm die Gravitationskonstante. kg2 Berechnen Sie die Arbeit, die benötigt wird, um die Masse m = 1kg von der Erdoberfläche bis ins Unendliche zu transportieren. Der Einfluss anderer Planeten soll vernachlässigt werden. Der Erdradius beträgt 6370km. 17. Berechnen Sie folgende Doppelintegrale: √ π a) Z1 Z4 Z1 Z x b) x cos(2y) dy dx , xy dy dx , c) x=0 y=x x=0 y=0 18. Berechnen Sie Z Z Z1.5 Z5y yex dx dy . y=0 x=0 f (x, y) dA mit (A) a) b) c) d) f (x, y) = x2 + y 2 , f (x, y) = x − y , f (x, y) = x + y , f (x, y) = e−(x+y) , begrenzt durch y = x, x = 1, y = 0 , begrenzt durch y = x, y = 2 − x, y = 0 , begrenzt durch y = x, y = x − 2, y = 0, y = 1 , erster Quadrant . Z Z 19. Welchen Wert besitzt das Doppelintegral xy dA, wenn A eine Achtelkreisfläche A A A A (A) (0 ≤ ϕ ≤ π ) 4 mit Radius r = 2 ist? Verwenden Sie zur Berechnung Polarkoordinaten! 20. Skizzieren Sie den durch die Ungleichungen x2 + y 2 ≤ 4, y ≥ 1 gegebenen Bereich und beschreiben Sie ihn sowohl durch kartesische Koordinaten als auch durch Polarkoordinaten. Z Z 21. Berechnen Sie das Doppelintegral y dA, wenn der Bereich A das Dreieck in der (A) x-y-Ebene mit den Eckpunkten (−1; 1), (0; 2) und (4; 1) ist. 22. Eine kreisförmig gebogene Leiterschleife vom Radius R wird senkrecht von einem Magnetfeld durchflutet, dessen magnetische Flußdichte B nach der Gleichung B(r) = B0 , r ≥ 0 (B0 = const.) 1 + r2 in radialer Richtung nach außen hin abnimmt. Bestimmen Sie den magnetischen Fluß Φ durch die Leiterschleife mit Φ = Z Z B dA . (A) Verwenden Sie Polarkoordinaten. π 23. Berechnen Sie das Integral Zπ Z2 Z1 cos(x + y)e3z dz dy dx . x=0 y=0 z=0 Welche Gestalt hat der Integrationsbereich? 24. Die Ebene x+y+z = 6 bildet mit den drei Koordinatenebenen eine gleichseitige Pyramide. Bestimmen Sie das Volumen und den Schwerpunkt dieser Pyramide. 25. Wie groß ist das Volumen des Körpers, der von den Ebenen x = 0, x = 4, y = 0, y = x + 2 sowie z = 2x + y + 1 und z = 4x + 2y + 3 begrenzt wird? 3 26. Ein Körper wird durch die Flächen x + z = 2, x2 + y 2 = 4 und z = 0 begrenzt. Die Dichte betrage ̺(x, y, z) = 3y 2 . Welche Masse besitzt der Körper? Hinweis: Verwenden Sie Zylinderkoordinaten. 27. Berechnen Sie die Masse des Körpers, der sich als Durchschnitt des Kreiskegels x2 + y 2 ≤ z 2 und der Halbkugel x2 + y 2 + z 2 ≤ R2 (z ≥ 0) ergibt, wenn für seine Dichte ̺ gilt ̺(x, y, z) = r2 , wobei r den Abstand des Punktes (x, y, z) vom Ursprung bezeichnet. Hinweis: Verwenden Sie Kugelkoordinaten. ——————————————————————————————————————— Alte Klausuraufgaben: √ 4 28. (a) Ermitteln Sie alle Stammfunktionen der Funktion f (x) = 2x x3 − Za (b) Für welches a > 0 gilt (sin( πa x) − a) dx = 0 ? 1 x + e−2x . 0 29. Bestimmen Sie alle Stammfunktionen folgender Funktionen: (a) f (x) = 3x · e2−x , (b) f (x) = x4 − 2x3 − 1 . x2 − 2x + 1 30. Berechnen Sie die folgenden Integrale: (a) Za x+a dx (a > 0) a −a (b) Z1 e2x−1 dx . −∞ 31. Bestimmen Sie alle Stammfunktionen folgender Funktionen: (a) f (x) = 3x · cos(x2 + 32. Berechnen Sie das Integral Z Z π ), 2 (b) f (x) = x2 + x + 1 . x3 − 2x2 + x (2y − x2 ) dA , wobei das Integrationsgebiet A ein (A) Viereck mit den Eckpunkten (0, 0), (2, 0), (0, 1) und (2, 3) ist. 33. Berechnen Sie die Mantelfläche des Körpers, der durch Rotation von f (x) = 2x + a, a ∈ R, a > 0 um die x-Achse im Intervall I = [0; 1] entsteht. 4