Blatt 1

Prof. Dr. C. B¨
ohm
Dr. M. Kerin
WS 2014/15
WWU M¨
unster
¨
Ubungen
zu Funktionentheorie
Serie 1
Aufgabe 1. Sei z ∈ C. Zeigen Sie:
(a) Es gilt z + z¯ ∈ R,
1
i
· (z − z¯) ∈ R und
1
z
=
z¯
|z|2
f¨
ur z = 0.
(b) Schreiben Sie die folgenden komplexe Zahlen in Form a + ib mit a, b ∈ R:
sin(t)
1√
−i
z−2i
2
2
(i) √2+i
, (ii) s+i
cos(t) , mit s, t ∈ R, s + cos (t) = 0, (iii) 1+iz und (iv) z 2 +4 .
3
Aufgabe 2.
(a) Gegeben sei λ = 1 + 2i ∈ C und T : C → C; z → λ · z. Bestimmen Sie die darstellende Matrix
M(2i,1) (T ) von T bzgl. der reellen Basis (2i, 1) von C.
(b) Sei f : R2 → R2 ; ( xy ) →
x2 −y 2
2xy
. Zeigen Sie:
(i) F¨
ur die Jacobi Matrix J(f ) von f im Punkt z = ( xy ) gilt J(f )z =
2x −2y
2y 2x
.
(ii) Bestimmen Sie die R-lineare Abbildung Az : C → C mit M(1,i) (Az ) = J(f )z und zeigen
Sie Az (w) = (2z) · w f¨
ur w ∈ C.
∞
k=0 ak (z
Aufgabe 3. Sei R ∈ [0, ∞] der Konvergenzradius einer komplexen Potenzreihe
Nach dem Wurzelkriterium gilt
1 √
.
R=
k
|ak |)
lim supk→∞ (
Nach dem Quotientenkriterium gilt: Existiert limk→∞
Sie den Konvergenzradius f¨
ur die folgenden Reihen:
(a)
∞
k
k=0 x ,
(b)
k
∞ (1−i)k
√
zk .
k=0
2
(c)
∞
k=0 ak (z
(d)
∞ 17+i k
k=0 k! z .
(e)
∞
ki
k=0 k3 +1 (z
(f)
∞ 1
k=0 k! (
− z0 )k .
ak+1
ak
, so folgt R = limk→∞
ak
ak+1
. Bestimmen
x ∈ R.
√
+ 4)k , mit a2j = ( 3)2j , a2j−1 =
1
2j−1 .
− 2i)k .
k
j=1 (2j
√
+ 1))(z − ( 2 + 15i))k .
Aufgabe 4. Seien f, g : R → R unendlich oft differenzierbare Funktionen, mit g(x) > 0, g (3) (x) = 0
und f (x) · g(x) = 1 f¨
ur alle x ∈ R. Zeigen Sie:
(a) F¨
ur alle k ∈ N, k
1, gilt
1
kf (k−1) (x) · g (x) + 12 k(k − 1)f (k−2) (x) · g (x) .
f (k) (x) = − g(x)
(b) Sind ferner f (0) = g(0) = 1, g (0) = 0 und g (0) = 2, so gilt f (2j−1) (0) = 0 und f (2j) (0) =
(−1)j (2j)! f¨
ur alle j ∈ N, j 1.
(c) Bestimmen Sie die Taylor-Reihe Tf (x) von f : R → R; x →
1
1+x2
im Entwicklungspunkt x0 = 0.
(d) Zeigen Sie, dass die Potenzreihe Tf (x) Konvergenzradius 1 hat und f¨
ur x ∈ (−1, 1) die Identit¨
at
f (x) = Tf (x) gilt.
Abgabe der L¨
osungen zu diesem Blatt bis Freitag, den 24.10.2014, um 12.00 Uhr,
¨
in den Briefkasten der Ubungsgruppen
(7–12) im H¨
orsaalgeb¨
aude.

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