http://musicbox.juniorwebaward.ch/pictures/05/bpam2v8uuurwum051rpbwvhons4j18/violine_11-289.jpg Symmetrien in Doppelintegralen: Aufgaben 5 Ma 2 – Lubov Vassilevskaya Symmetrien in Doppelintegralen: Aufgaben 13 Berechnen Sie folgende Integrale: Aufgabe 1: ∬ 2 x − sin  x 2  y dx dy A Der Integrationsbereich A besteht aus den beiden Dreiecken OPQ und ORS mit den Eckpunkten: O (0, 0), Aufgabe 2: P (3, 2), Q (3, -2), R (-3, 2), S (-3, -2) ∬ sin x  cos x⋅sin y  dx dy A A ist ein Viereck mit den Eckpunkten: (2π, π), (2π, -π), (-2π, π), (-2π, -π) Aufgabe 3: ∬ x − e x2 y dx dy A A ist ein Viereck mit den Eckpunkten: (3, 2), (3, -2), (-3, 2), (-3, -2) 5-A Ma 2 – Lubov Vassilevskaya Symmetrien in Doppelintegralen: Lösung 1 Abb. L1: Darstellung des Integrationsbereiches A Wir berechnen das Integral ∬ 2 x − y sin x 2  dx dy A Die Symmetrie bezüglich der y-Achse liefert ∬2 x dx dy = 0 A Die Symmetrie bezüglich der x-Achse liefert ∬ sin x 2 y dx dy = 0 A Deshalb ist 5-1 ∬ 2 x − sin x 2 y dx dy = 0 A Ma 2 – Lubov Vassilevskaya Symmetrien in Doppelintegralen: Lösung 2 Abb. L2: Darstellung des Integrationsbereiches A ∬ sin x  cos x⋅sin y  dx dy A Die Symmetrie bezüglich der y-Achse liefert ∬ sin x dx dy = 0 A Die Symmetrie bezüglich der x-Achse liefert ∬ cos x ⋅ sin y dx dy = 0 A Deshalb ist ∬ sin x − cos ⋅ sin y  dx dy = 0 A 5-2 Ma 2 – Lubov Vassilevskaya Symmetrien in Doppelintegralen: Lösung 3 Abb. L3: Darstellung des Integrationsbereiches A 2 ∬  x − e x y dx dy A Die Symmetrie bezüglich der y-Achse liefert ∬x dx dy = 0 A Die Symmetrie bezüglich der x-Achse liefert ∬e x y dx dy = 0 A Deshalb ist ∬ x − e x 2 y dx dy = 0 A 5-3 Ma 2 – Lubov Vassilevskaya Symmetrien in Doppelintegralen: Aufgabe 4 Abb. L4: Darstellung des Integrationsbereiches A Berechnen Sie das Integral ∬ x2 − y  dx dy A 6-1 Der Bereich A ist durch folgende Funktionen bestimmt: x2 x2 f x =  1, g  x  = − − 1, x = − 3, x = 3 5 5 Ma 2 – Lubov Vassilevskaya Symmetrien in Doppelintegralen: Lösung 4 ∬ x2 − y  dx dy A Der Bereich A ist symmetrisch bezüglich der x-Achse und der y-Achse. Die Symmetrie bezüglich der x-Achse liefert ∬y dx dy = 0 A Die Symmetrie bezüglich der y-Achse liefert ∬ x 2 dx dy = 2 ∬ x 2 dx dy A AR A R ist die rechte Hälfte von A, bzw. der Teil mit x ≥ 0. Die Symmetrie bezüglich der x-Achse liefert ∬ x2 AR dx dy = 2 ∬ x 2 dx dy AR O A R O ist der oberer Teil der rechten Hälfte von A R , bzw. der Teil von A R mit y ≥ 0. ⇒ ∬ x 2 dx dy = 2 ∬ x 2 dx dy = 4 ∬ x 2 dx dy A ∬ x A 6-2 AR 2 3 − y dx dy = 4 ∫ x=0 2 x dx x2 1 5 ∫ y=0 AR O 3 dy = 4 ∫ 0   x4 1872  x 2 dx = ≃ 74.88 5 25 Ma 2 – Lubov Vassilevskaya Symmetrien in Doppelintegralen: Aufgabe 5 Abb. L5: Darstellung des Integrationsbereiches A Berechnen Sie das Integral ∬  x 2 − sin y  x 4 y dx dy A Der Bereich A ist durch folgende Funktionen bestimmt: f  x  = cos 7-1  x  1, 2 g  x  = − cos  x − 1, 2 x = − , x= Ma 2 – Lubov Vassilevskaya Symmetrien in Doppelintegralen: Lösung 5 ∬  x 2 − sin y  x 4 y dx dy A Der Bereich A ist symmetrisch bezüglich der x-Achse und der y-Achse. ∬ sin y  x 4 y dx dy = 0, ∬ x 2 dx dy = 2 ∬ x 2 dx dy A A A R : −cos   x x − 1  y  cos  1, 2 2 ∬ x 2 dx dy = 2 ∬ x 2 dx dy , AR AR AR A R : 0  y  cos O ∬ x 4 − sin y  x y dx dy = 4 A =4 ∫ x =0 7-2 ∫ x=0   x  1, 2 0x O cos  x / 2 1  2 0x  2 x dx ∫ dy = y=0    x 2 cos x 4  1 dx = 8 2 − 64  3 ≃ 56.3 2 3 Ma 2 – Lubov Vassilevskaya