¨ Blatt 13 der Ubungen zur Vorlesung Numerik I, LMU-Mu¨nchen, Wintersemester 2014/2015 Dr. Peter Philip, Arnau Pons Domenech 13. Januar 2015 Die Aufgaben dieses letzten Blattes dienen speziell der Klausurvorbereitung. Dieses Blatt wird nicht korrigiert und ist daher auch nicht abzugeben. Der L¨osungsvorschlag wird am Fr, den 23. Jan. an der u ¨blichen Stelle ver¨offentlicht. Wenn Sie an der Klausur am 28. Jan. teilnehmen wollen, dann melden Sie sich daf¨ ur unter http://www.mathematik.uni-muenchen.de/uebungen/anmeldung/index.html ¨ online an (dies gilt unabh¨angig davon, ob Sie sich schon vorher zu Vorlesung und Ubung angemeldet haben). Bitte beachten Sie auch die Hinweise zur Klausur auf den Vorlesungs-Webseiten. √ 1. Seien f , g und h : R+ → R mit f (x) = O ( x), g(x) = O (log x) und h(x) = O (x) im 3/2 Limes x → ∞ gegeben. Zeigen Sie, dass (f (x) + g(x)) · h(x) = O x gilt. 2. (a) Betrachten Sie R2 mit der 1-Norm k · k1 . Berechnen Sie die relative Konditionszahl der Abbildung f : R2 −→ R2 , f (x, y) := (x3 + y 4 , x sin y), im Punkt (x, y) = (−3, 0). (b) Betrachten Sie das lineare Gleichungssystem 1 1 , Ax = b, A := 0 2 b := −4 , 3 mit gest¨orter rechter Seite in der 2-Norm: Es sei ∆b ∈ R2 eine St¨orung von b und x + ∆x die L¨osung des gest¨orten Systems, also Ax = b, A(x + ∆x) = b + ∆b. Finden Sie β ∈ R+ so, dass k∆bk2 < β garantiert, dass k∆xk2 /kxk2 < 10−2 . Begr¨ unden Sie, dass f¨ ur Ihre Wahl von β die Bedingung tats¨achlich erf¨ ullt ist. 3. (a) Finden Sie das Interpolationspolynom p zu folgenden Daten: p(1) = 1, p′ (1) = 0, p′′ (1) = 2, p(3) = −1. (b) Es seien p0 : R −→ R, p1 : R −→ R, p2 : R −→ R, 11 41 x + x3 , 15 15 8 11 p1 (x) = − (x − 1) + (x − 1)2 − 15 5 14 17 p2 (x) = − (x − 2) − (x − 2)2 + 15 5 p0 (x) = 2 − 5 (x − 1)3 , 3 14 (x − 2)3 . 15 Zeigen Sie, dass es eine Funktion s : [0, 3] −→ R gibt, f¨ ur die gilt s↾[k,k+1] = pk ↾[k,k+1] f¨ ur k = 0, 1, 2, und dass es sich bei dieser Funktion um den kubischen Spline mit nat¨ urlichen Randbedingungen zum Knotenvektor ∆ := (x0 , . . . , x3 ) := (0, 1, 2, 3) mit St¨ utzwerten (y0 , . . . , y3 ) := (2, 0, 0, −3) handelt. 4. (a) Finden Sie eine QR-Zerlegung der Matrix   1 0 −1 3 , A := 2 1 1 −2 0 d.h. eine orthogonale Matrix Q und eine Matrix R in Stufenform, so dass A = QR gilt. Benutzen Sie dazu das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren. (b) Bestimmen Sie eine QR-Zerlegung der Matrix 0 1 A := 2 0 durch Anwendung des Householderverfahrens. Geben Sie dazu insbesondere die verwendete Householdermatrix an.