数学演習 A 問題（解析 1A） No.5 ∫ ∫ 不定積分あるいは定積分を求める問題では， f (x)dx = . . . あるいは b f (x)dx = . . . のように問題が a 分かるように書くこと．また，不定積分における積分定数は省略してよい． 5-1. 次の不定積分を求めよ．ただし，a > 0, b ∈ R, n ̸= −1 とする． ∫ ∫ ∫ 1 1 (1) dx (2) x log x dx (3) dx x2 x 2 − a2 ∫ ∫ ∫ (5) (ax + b)n dx (6) (3x − 2x ) dx (7) xeax dx 5-2. 次の定積分の値を求めよ．ただし，a は正の定数である． ∫ 1 ∫ 1 ∫ 1 √ 3 (3) (2) x + 1 dx (1) (x + 2) dx ∫0 e (4) ∫ log x dx −1 a (5) −a 1 √ a2 − x2 dx sin2 x dx ∫ √ ( x + 1)2 √ (8) dx x 1 dx 1 + x2 −1 π/4 ∫ ∫ (4) (6) −π/4 1 dx cos4 x (Hint: (6) は tan x = t とおいて置換積分せよ．) ∫ 5-3. (1) lim δ→+0 δ 1 1 √ dx を求めよ． x ∫ 1 1 dx を求めよ． xa (3) δ → +0 のとき I(δ) が収束するための a > 0 の条件を求めよ．さらに収束する場合について，極限 lim I(δ) の値を求めよ δ→+0 [ ] ∫ 1 1 (3) のとき極限を dx と書く．これが広義積分の一つ． a 0 x (2) a > 0, 0 < δ < 1 とするとき，I(δ) = δ 5-4. 次の不定積分を求めよ．ただし，a は正の定数，b は実数とする． ∫ ∫ ∫ ∫ 1 2 b 2 (1) dx (2) x(x + 1) dx (3) tan x dx (4) x2 e−x dx x2 + a2 (2) は b の値に関する場合分けをすること． 5-5. 部分分数展開により次の不定積分を求めよ． ∫ ∫ 1 1 (1) dx (2) dx (x2 − 1)2 x3 − 1 1 A B C D = + + + をみたす定数 A, B, C, D を求める． 2 2 − 1) x − 1 (x − 1) x + 1 (x + 1)2 1 A Bx + C (2) 3 = + 2 をみたす定数 A, B, C を求めて，．．．) x −1 x−1 x +x+1 (ヒント:(1) (x2