微分積分学 II 中間試験問題(2012 年11月

微分積分学 II 中間試験問題 (２０１２年１１月)
氏名
学籍番号
1.
次の極限が存在しないことを示せ。（各５点）
x2
(1)
lim
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
(2)
2.
(x + y)2
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
lim
(x + y)2
f (x, y) = √
に関する次の問いに答えよ。（各５点）
x2 + y 2
(1) lim f (x, 0) を求めよ。
x→0
(2)
(x + y)2
√
が (1) で求めた値に一致することを証明せよ。
(x,y)→(0,0)
x2 + y 2
lim
3.
次の問いに答えよ。（各５点）
(1) f (x, y) = e−x sin y の偏導関数 fx (x, y), fy (x, y) を求めよ。
(2)
f (x, y) = sin(x2 + xy) の偏導関数 fx (x, y), fy (x, y) を求めよ。
(3)
f (x, y) = x2 sin y の２次偏導関数 fxx (x, y), fxy (x, y), fyy (x, y) を求めよ。
(4)
f (x, y) = xey の全微分 df を求めよ。
4.
曲面 z = f (x, y) = (x − y)2 の (1, 0, f (1, 0)) における接平面および yz 平面に平行な接
線を求めよ。（５点）
5.
f (x, y) = x3 + y 3 + 5x2 y + 6xy 2 + xy の次の高次偏導関数を求めよ。（１０点）
fx (x, y) =
fxx (x, y) =
fyxx (x, y) =
fy (x, y) =
fxy (x, y) =
fyxy (x, y) =
6.
次の関数 f (x, y) のマクローリン展開を 2 次の項まで求めよ。ただし、3 次の剰余項は
記載しなくてよい。（各５点）
(1) f (x, y) = cos(x + 2y)
(2)
7.
f (x, y) =
ey
1−x
次の合成関数に関する問いに答えよ。（各５点）
(1) f (x, y) と x = x(s, t), y = y(s, t) の合成関数を z(s, t) = f (x(s, t), y(s, t)) とする
とき、偏導関数 zs (s, t) の公式を f, s, t を用いて表せ。
(2)
f (x, y) = sin xy, x = x(s, t) = s2 + t2 , y = y(s, t) = est の合成関数を z(s, t) =
f (x(s, t), y(s, t)) とするとき、偏導関数 zs (s, t) を s, t を用いた式で求めよ。
(3)
f (x, y) = (x2 + xy + 2y 2 )3 , x = x(t) = cos t, y = y(t) = sin t の合成関数を
z(t) = f (x(t), y(t)) とするとき、 z ′ (t) = 0 で x = cos t ̸= 0 となる実数 t に対し
tan t の値を求めよ。
8.
9.

3
 xy
関数 f (x, y) = x2 + y 2

0
(x, y) ̸= (0, 0)
に関して、次の問いに答えよ。（各５点）
(x, y) = (0, 0)
(1)
偏微分係数の定義式を計算することで、fx (0, 0) および fy (0, 0) を計算せよ。
(2)
(x, y) ̸= (0, 0) のとき、偏導関数 fx (x, y) および fy (x, y) を求めよ。
(3)
偏微分係数の定義式を計算することで、fxy (0, 0) および fyx (0, 0) を計算せよ。
曲線 x + y 2 − 2x2 y = 0 の接線について調べよ。（５点）

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