図チャレ 第 176 回 (2016 年 5 月) 複素数平面上で原点 O と 2 点 A(α), B(β) を頂点とする OAB がある。直線 OB に 関して点 A と対称な点を C, 直線 OA に関して点 B と対称な点を D とするとき，以下 の問いに答えよ。ただし，複素数 z と共役な複素数を z で表すものとする。 α β であることを示せ。 (1) 点 C(γ) とするとき， γ = β (2) 辺 AB と直線 DC が平行なとき，OAB はどのような三角形か。 出典 ：2016 年 岐阜薬科大学 解答 (1) θ = arg β とおくと α β β = (cos θ + i sin θ) α α 点 C(γ) は直線 OB に関して点 A と対称であるから γ = α(cos 2θ + i sin 2θ) = α(cos θ + i sin θ)2 2 β α =α αβ β2 α α =α 2 α β β α β = β (証明おわり ) (2) D(δ) とするとき， (1)と同様に考えて β α δ= α −→ CD を表す複素数は β α α− β δ−γ = α β であるから δ−γ = α−β β α α− α β β α−β — 1 — z= β とおくと α z z − z2 δ−γ z = = α−β 1−z z (z − 1) z− AB と DC が平行のとき δ−γ δ−γ = α−β α−β であるから z − z2 z2 = z (z − 1) z (z − 1) z (z − 1)(z − z 2 ) = z z − 1)(z − z 2 z (zz − z 3 − z + z 2 ) = z zz − z 3 − z + z 2 z −z 3 − z = z −z 3 − z z 2 − z 2 − zz z 2 − z = 0 2 z − z 2 1 − zz = 0 z + z z − z 1 − |z|2 = 0 α β は実数でないから α z = −z または |z| = 1 ∴ α ⊥ β または |α| = | β | β より z = よって， OAB は ∠AOB が直角である直角三角形 または OA = OB である二等辺三角形 ( 答) — 2 —
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