1 0 ≦ x ≦ ¼ 2 Z xcosx dx と Z

1
05x5
¼
において，曲線 y = cos x と x 軸および y 軸で囲まれた図形を D とする．
2
(1) D を x 軸のまわりに 1 回転して得られる回転体の体積 V1 を求めよ．
Z
Z
(2) 不定積分
x cos x dx と
x2 sin x dx を求めよ．
(3) D を y 軸のまわりに 1 回転して得られる回転体の体積 V2 を求めよ．
（東京海洋大学 2011 ）
2
次の問いに答えよ．
(1) x > 0 のとき，1 + 2 sin x < x + ex が成り立つことを示せ．
(2) x = 0 の範囲にあって，2 つの曲線 y = 1 + 2 sin x; y = x + ex と直線 x = ¼ とで囲まれる領域を x 軸のまわりに 1 回転して得ら
れる立体の体積を求めよ．
（学習院大学 2013 ）
3
曲線 C : y = (log x)2 +
3
(x > 0) について，以下の問いに答えよ．
4
dy
d2 y
dy
;
を求めよ．また，
> 0 となる x の範囲を求めよ．
2
dx
dx
dx
(2) 曲線 C の接線で原点 (0; 0) を通るものを求めよ．
(1)
(3) 曲線 C の概形と (2) で求めた接線を描け．
(4) (2) で求めた接線の中で傾きが最大のものと曲線 C との接点を P とする．点 P の座標を求めよ．
(5) (4) で求めた点 P を通り x 軸に平行な直線と曲線 C で囲まれた図形の面積 S を求めよ．
（同志社大学 2014 ）
4
a を正の定数とし，
x = a cos µ ¡ cos 2µ;
y = a sin µ + sin 2µ
#0 5 µ 5
¼
;
3
で表される曲線を C とする．曲線 C が点 P(1; 2) を通るとき，以下の問いに答えよ．
(1) 定数 a の値を求めよ．
(2) 点 P における曲線 C の接線を ` とする．` の方程式を求めよ．
(3) 曲線 C と直線 x = 1 および x 軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
（福井大学 2015 ）

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