1 2 次の正方行列 A; B が AB Ë BA,A2 B = ABA = BA2 を満たすとする. (1) A は逆行列をもたないことを証明せよ. (2) A2 を求めよ. (3) B2 が単位行列 E のとき,AB + BA を求めよ. ( 名古屋市立大学 2013 ) 2 原点を O とする xyz 空間内に 1 辺の長さが 1 の正四面体 OPQR がある.点 P,Q,R を通り z 軸 に平行な 3 直線と xy 平面との交点をそれぞれ P0 ,Q0 ,R0 とするとき,次の問いに答えよ. (1) 4PQR,4P0 Q0 R0 の面積をそれぞれ S,S1 とする.P,Q,R の 3 点を通る平面と xy 平面のな す角を µ とするとき,S1 = S cos µ を示せ. (2) O が 4P0 Q0 R0 の周上を含む内部にあるとき,z 軸と 4PQR の交点を A とする.このとき正四 1 面体 OPQR の体積 V は V = OA ¢ S1 となることを示し,S1 の最小値を求めよ. 3 0 (3) O が 4P0 Q0 R0 の外部にあり,線分 OP と線分 Q0 R0 が交点 B をもつとき,点 B を通り z 軸に平 0 行な直線と,直線 OP および直線 QR との交点をそれぞれ C,D とする.このとき四角形 OQ P0 R0 1 CD ¢ S2 となることを示し,S2 の最大値を求めよ. の面積を S2 とすると V = 3 ( 名古屋市立大学 2013 ) 3 次の問いに答えよ. Z¼ Z¼ x (1) e sin x dx および ex cos x dx を求めよ. 0 0 Z¼ Z¼ x (2) xe sin x dx および xex cos x dx を求めよ. 0 0 (3) 次の関係を満足する関数 f(x); g(x) を求めよ. f(x) = e sin x + Z g(x) = ex cos x + Z x [ ¼ ug(u) du 0 0 ¼ uf(u) du ( 名古屋市立大学 2013 )
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