(1) Aは逆行列をもたないことを

1
2 次の正方行列 A; B が AB Ë BA，A2 B = ABA = BA2 を満たすとする．
(1) A は逆行列をもたないことを証明せよ．
(2) A2 を求めよ．
(3) B2 が単位行列 E のとき，AB + BA を求めよ．
（名古屋市立大学 2013 ）
2
原点を O とする xyz 空間内に 1 辺の長さが 1 の正四面体 OPQR がある．点 P，Q，R を通り z 軸
に平行な 3 直線と xy 平面との交点をそれぞれ P0 ，Q0 ，R0 とするとき，次の問いに答えよ．
(1) 4PQR，4P0 Q0 R0 の面積をそれぞれ S，S1 とする．P，Q，R の 3 点を通る平面と xy 平面のな
す角を µ とするとき，S1 = S cos µ を示せ．
(2) O が 4P0 Q0 R0 の周上を含む内部にあるとき，z 軸と 4PQR の交点を A とする．このとき正四
1
面体 OPQR の体積 V は V =
OA ¢ S1 となることを示し，S1 の最小値を求めよ．
3
0
(3) O が 4P0 Q0 R0 の外部にあり，線分 OP と線分 Q0 R0 が交点 B をもつとき，点 B を通り z 軸に平
0
行な直線と，直線 OP および直線 QR との交点をそれぞれ C，D とする．このとき四角形 OQ P0 R0
1
CD ¢ S2 となることを示し，S2 の最大値を求めよ．
の面積を S2 とすると V =
3
（名古屋市立大学 2013 ）
3
次の問いに答えよ．
Z¼
Z¼
x
(1)
e sin x dx および
ex cos x dx を求めよ．
0
0
Z¼
Z¼
x
(2)
xe sin x dx および
xex cos x dx を求めよ．
0
0
(3) 次の関係を満足する関数 f(x); g(x) を求めよ．
f(x) = e sin x +
Z
g(x) = ex cos x +
Z
x
[
¼
ug(u) du
0
0
¼
uf(u) du
（名古屋市立大学 2013 ）

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