物理学 A レポート２３ (平成 27 年度) 速度に比例する抵抗力のもとで、バネにつけられた質点の運動を調べる。ここでは、さらに外力 f(t)が加えられているときに f(t) はどのような運動するかを調べてみよう。まず、バネ定数 k のバネを水平な床の上に置き、片方の端を固定し、もう片方の端に質量 m の質点をつけて静止して置いた。このときの質点の位置を x = 0 とする（右図）。もし、床に摩擦が無く、かつ速度に比例する抵抗力が無ければ、このバネは単振動し、その振動周波数ω0 は ω 0 = k m で与えられる(2.16 式参照)。静止しているこの物体に t = 0 から f (t ) = F sin ω 0 t バネの振動周波数 ω 0 と同じ周波数で周期的な力を x 方向に連続的に加えると、次第に物体は運動を始めた。ここで、床には摩擦がないものとする。ただし、物体には速度に比例する空気の抵抗力（２ｍ ω 0 v）が働くものとする。初期条件を t = 0 で x = 0、速度 v = 0 とする。バネの質量は無視できるものとする。 (1) 運動方程式が次の線形２階非同次微分方程式となることを示せ。 d 2x dx F 2 + 2ω 0 + ω 0 x = sin ω 0 t 2 dt m dt ・・・・① (2) ①の特解 x(t)を求めよ。 (3) ①の一般解 x(t)を求めよ。 (4) 初期条件を使って、時刻ｔにおける質点の位置 x(t)を求めよ。 (5) t→∞のときの質点はどのような振幅と周波数をもって運動をするか。 ◎ヒント：http://www.ecei.tohoku.ac.jp/plasma/physics-a.htm