演習問題1

微分積分 II 演習第 1 回
2016 年 10 月 12 日
演習問題
問題 1. 次の極限値を求めよ．
(i)
x+y+1
(x,y)→(0,0) x2 + y 2 + 1
lim
(ii)
xy 2
√
(x,y)→(0,0)
x2 + y 4
lim
(iii)
lim
x sin
(x,y)→(0,0)
y
x
問題 2. 次の関数の連続性を調べよ．
 2
2
 x −y
x2 + y 2
(i) f (x, y) =

0
(x, y) ̸= (0, 0)
(x, y) = (0, 0)


y3
x2 + y 2
(ii) f (x, y) =

0
(x, y) ̸= (0, 0)
(x, y) = (0, 0)
問題 3. 次の関数について，以下の問いに答えよ．

 xy sin √ 1
f (x, y) =
x2 + y 2

0
(x, y) ̸= (0, 0)
(x, y) = (0, 0)
(i) f (x, y) の (x, y) = (0, 0) における x, y に関する偏微分を求めよ．
(ii) f (x, y) が (x, y) = (0, 0) で全微分可能であることを示せ．
問題 4. 次の関数について，x, y に関する偏導関数をそれぞれ求めよ．但し，a, b, c, d ∈ R とする．
(i) f (x, y) = sin(x − y)
(ii) f (x, y) = log(3x2 + xy + y 2 )
(iii) f (x, y) =
ax + by
cx + dy
問題 5. 次の関数 f = f (x, y) と x = x(t), y = y(t) の合成関数について，df /dt を求めよ.
(i) f (x, y) = y 2 − x,
x(t) = 2 t,
(ii) f (x, y) = x − y ,
2
2
y(t) = 3 t
x(t) = cos t,
(iii) f (x, y) = sin x cos y,
y(t) = sin t
y(t) = e−t .
t
x(t) = e ,
問題 6. 次の関数 f = f (x, y) と x = x(u, v), y = y(u, v) の合成関数について，∂f /∂u と ∂f /∂v を求めよ.
(i) f (x, y) = y − x,
x(u, v) = u + v,
(ii) f (x, y) = sin x cos y,
x
(iii) f (x, y) = e sin y,
y(u, v) = uv
x(u, v) = u − v 2 , y(u, v) = 2uv
v
u
, y(u, v) = − 2
x(u, v) = 2
u + v2
u + v2
2
1

Download Report