チャレンジ問題 < 数学 > 〔1〕 n は負でない整数とするとき，次の問いに答えよ． (1) x + y · n ，x ¸ 0，y ¸ 0 を満たす整数の組 (x; y) の個数を求めよ． (2) x + y + z · n ，x ¸ 0，y ¸ 0，z ¸ 0 を満たす整数の組 (x; y; z) の個数を求めよ． < 解答 ¢ 解説 > (1) x = k（k = 0，1，2，Ý，n ）上の格子点の個数は n ¡ k + 1 個．よって，求める組の個数は n n P P (n ¡ k + 1) = n + 1 + f(n + 1) ¡ kg k=0 n n¡k k=1 1 = (n + 1) + n(n + 1) ¡ n(n + 1) 2 1 = (n + 1)2 ¡ n(n + 1) 2 1 = (n + 1)f2(n + 1) ¡ ng 2 1 = (n + 1)(n + 2) 2 1 (n + 1)(n + 2) 個 Ý(答) よって， 2 (2) z = k（k = 0，1，2，Ý，n ）のとき，x + y · n ¡ k (1) より，格子点の個数は 1 2 1 2 (n ¡ k + 1)(n ¡ k + 2) = 2 f(n + 1)(n + 2) ¡ (2n + 3)k + k g よって，求める組の個数は n 1 P f(n + 1)(n + 2) ¡ (2n + 3)k + k2 g 2 k=0 1 1 1 = S(n + 1)2 (n + 2) ¡ (2n + 3) ¢ n(n + 1) + n(n + 1)(2n + 1)k 2 2 6 1 1 = ¢ (n + 1)f6(n + 1)(n + 2) ¡ 3n(2n + 3) + n(2n + 1)g 2 6 1 1 1 = ¢ (n + 1)(2n 2 + 10n + 12) = (n + 1)(n 2 + 5n + 6) 2 6 6 1 = (n + 1)(n + 2)(n + 3) 6 よって， 1 6 (n + 1)(n + 2)(n + 3) 個 Ý(答) < 別解 > (1) 求める整数の組の個数は， x + y + w = n （x ¸ 0，y ¸ 0，w ¸ 0）を満たす (x; y; w) の組数と同じである．よって， 3 Hn = n+3¡1 Cn = n+2 C2 = 1 2 (n + 2)(n + 1) (2) 求める整数の組の個数は x + y + z + w = n （x ¸ 0，y ¸ 0，z ¸ 0，w ¸ 0）を満たす (x; y; z; w) の組数と同じである．よって， 4 Hn = n+4¡1 Cn = n+3 C3 = 1 6 (n + 3)(n + 2)(n + 1) k n ¡! ¡ ! 〔2〕 1 辺の長さが 1 の正五角形 ABCDE の外接円の中心を O とする．AB = a ， ¡! ¡ ! AE = b とするとき，次の問いに答えよ． A ¡ ! a B ¡! ¡! ¡! ¡! ¡! ¡ ! [I] OA + OB + OC + OD + OE = 0 であることを示せ． ¡ ! b E O [II] (1) AC，BE の交点を F とするとき，BF の長さを求めよ． ¡ ! ¡ ! (2) 内積 a ¢ b を求めよ． ¡! ¡ ! ¡ ! (3) ベクトル AC を a ， b で表せ． ¡! ¡ ! ¡ ! (4) ベクトル AO を a ， b で表せ． C D < 解答 ¢ 解説 > ¡! ¡! ¡! [I] OC = sOA + tOB とすると， ¡! ¡! ¡! ¡! ¡! ¡! ¡! ¡! ¡! ¡! ¡! ¡! OD = sOB + tOC，OE = sOC + tOD，OA = sOD + tOE，OB = sOE + tOA 辺々たして ¡! ¡! ¡! ¡! ¡! ¡! ¡! ¡! ¡! ¡! OA + OB + OC + OD + OE = (s + t)(OA + OB + OC + OD + OE) ¡! ¡! ¡! ¡! ¡! ¡ ! (s + t ¡ 1)(OA + OB + OC + OD + OE) = 0 C は直線 AB 上にないので，s + t ¡ 1 Ë 0 であるから， ¡! ¡! ¡! ¡! ¡! ¡ ! OA + OB + OC + OD + OE = 0 [II] (1) 4ABF ∽ 4 BEA より， AB : BF = BE : EA A ² BF = x とすると， p ¡1 § 5 1 : x = (x + 1) : 1 x + x ¡ 1 = 0 x = 2 p 5 x > 0 なので， x = ¡1 + 2 p ¡1 + 5 ∴ BF = 2 p p 5 = 1+ 5 (2) BE = 1 + ¡1 + 2 2 2 2 B ² x 1 ² E 1 ² C ¡! ¡! ¡! ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! BE = AE ¡ AB = b ¡ a BF = b ¡ 2 a ¢ b + a p ¡ ! ¡ ! 6 +42 5 = 1 ¡ 2 a ¢ b + 1 p p ¡ ! ¡ ! 3+ 5 1¡ 5 2a ¢ b =2¡ = 2 2 p ¡ ! ¡ ! 5 ∴ a ¢ b = 1 ¡4 p (3) EC = BE = 1 +2 5 p ¡! ¡! ¡! ¡ ! ! 1+ 5¡ AC = AE + EC = b + a 2 p ¡! ¡ ! ! 5+1¡ (4) (3) と同様にして，AD = a + b 2 ¡! ¡! ¡! ¡! ¡! ¡ ! [a] より OA + OB + OC + OD + OE = 0 なので ¡! ¡! ¡! ¡! ¡! ¡! ¡! ¡! ¡! ¡ ! ¡AO + (AB ¡ AO) + (AC ¡ AO) + (AD ¡ AO) + (AE ¡ AO) = 0 2 x F 2 D ¡! ¡! ¡! ¡! ¡! 5AO = AB + AC + AD + AE p p ¡ ! ! ¡ ! ¡ ! ! ¡ ! 5+1¡ 5+1¡ = a +$ a + b <+$a + b <+ b 2 2 p ! ¡ ! 5+5 ¡ = (a + b) 2 p ¡! ! ¡ ! 5+5 ¡ ∴ AO = (a + b) 10