量子力学 A(2 年後期) 期末テスト 2015. 2. 13 (金) 以下の問題で，h ¯ は，プランク定数 h を 2π で割ったものとする．問題０. (おまけ：4 点) (1) 次の 4 種類のローマ字が現れる数式を書かなければならないとしよう．これらの文字を他の人が見ても判別できるように書き分けよ．まぎらわしい場合は不正解とする．大文字のユー，大文字のブイ，小文字のユー，小文字のブイ 2 (2) t, τ , ω を実数とするとき，|(t − iτ )3 e−iωt | を簡単にせよ．ただし，遠藤から「三角関数依存症」と言われないように解答すること． (3) 電子の運動量ベクトルが p であるとき，対応する物質波の波数ベクトルを k とする． p と k との間の関係式を (¯ h を使って) 書け． (4) 関数 et を t = 0 のまわりにベキ級数展開（Taylor 展開) せよ．t の 2 次まで書き 3 次以上は「＋・・・」で表せ．問題１. (配点予定：40 点) (1) e−2x +x を x = 0 の周りでベキ級数展開（Taylor 展開）せよ．x の 6 次まで書き 7 次以上の項は「＋・・・」で表せ． 3 6 (2) z 4 = −1 を満たす複素数は何個あるか？その複素数をすべて求め，複素平面上に図示せよ． (3) y = e−x cos(6πx) のグラフの概形を描け． 2 (4) x 軸上を伝わる 1 次元の平面波 ψ(x, t) = Aei(kx−ωt+α) を考える．ただし，A, k, ω, α は実定数である．この平面波の速度を (上の ψ の式にもとづいて) 求めよ． (5) 波束は無数の平面波の重ね合わせとして表される．波束を構成する各平面波は一般にそれぞれ異なる速さをもつため，波束の形なども時間とともに変化する．波束を構成する（代表的な）平面波の速度は位相速度と呼ばれる．では，波束の群速度と呼ばれるものは何か． (6) 運動量の大きさが p のときのエネルギーが E = pc で与えられる粒子がある（c は真空中の光速)．物質波の分散関係を求め，位相速度と群速度を求めよ． (7) 古典力学では，粒子（質点）の状態を指定するのは位置と運動量であった．では，量子力学では状態を指定するのは何か？ (8) 時間を含むシュレーディンガー方程式は同次線形の微分方程式として表される．この「同次線形性」は，（量子力学として）何を保証するために必要だったのか？問題 2. (配点予定 20 点) 次の系の時間を含む (time-dependent) シュレーディンガー方程式を書け．関数の変数も省略せずにちゃんと書くこと． (1) 質量 m の粒子が x 軸上を運動する 1 粒子系．ポテンシャルエネルギーは V (x) で与えられる． (2) 質量が m と M の粒子が，相対的位置に応じて互いに力を及ぼし合っている 1 次元 K 2 粒子系．そのポテンシャルエネルギーは (x − X)2 で与えられる．ここで，x は 2 質量 m の粒子の位置座標であり，X は質量 M の粒子の位置座標である．また，K は実定数．問題 3. (配点予定 40 点) x 軸上を運動する１粒子系を考える．波動関数が ψ(x) で与えられるとする．ただし，この ψ(x) は規格化されているとは限らない． (1) 粒子が a < x < b の範囲に見つかる確率 P (a, b) を表す式を書け． (2) 粒子の位置の 2 乗の期待値 hx2 i を表す式を書け． (3) 粒子の運動量の期待値 hpx i を表す式を書け． (4) 波動関数が特に ψ(x) = eikx R(x) の形をしている場合を考える．ここで，k は実定数．R(x) は x → ±∞ で十分に速く R(x) → 0 となる実数値関数であり， ∫ ∞ {R(x)}2 dx = 1 −∞ を満たす．さて，このような波動関数のもとでは，運動量の期待値は hpx i = h ¯k となることを示せ． (ヒント)： R(x)R0 (x) = 1 0 {R(x)2 } . 2