HW (1)

提出期限：2014 年 10 月 9 日
年・組・番号
学生番号
氏名
1 経済数学 (2) HW (1) : ベクトル
講義用 Web site の「線型代数入門」を利用する（「教材・参考文献」「線形代数」と辿る）．
(1) (p. 5, 問 1) 二点 P, Q の位置ベクトルを a, b とするとき，線分 PQ の中点の位置ベクトルは
a+b
であることを示せ．
（ヒント）
：m が解なら，(m − a) = (b − m) となる．
2
(2) (p. 5, 問 2) 三点 P, Q, R の位置ベクトルを a, b, c とするとき，三角形 PQR の重心の位置ベクトルは
a+b+c
であることを示せ．（ヒント）
：幾何学から重心 g は辺 PQ, PR の中点と対角の頂点を結ぶ直
3
a+b
a+c
a+c
線状にあるから，s, t をある実数として g = a+b
2 + s(c − 2 ) = 2 + t(b − 2 ) となる．
(3) (p. 6, [1.3]) 三角不等式 ||a + b|| ≤ ||a|| + ||b|| を示せ．
（ヒント）
：Schwarz の不等式 |(a, b)| ≤ ||a|| · ||b|| は cos θ の式から明らか．これを用いる．
∑n
(4) 任意の実数 {a1 , · · · , an } と {b1 , · · · , bn } に対して，変数 t の 2 次関数 f (t) = i=1 (ai t − bi )2 >
= 0 を考え
(∑ 2 ) (∑ 2 )
∑
2
<
ることにより，不等式 ( ai bi ) =
ai
bi が成り立つことを示せ．
（ヒント）
：f (t) = 0 の判別式は D′ ≤ 0．
（Cauchy-Schwarz の不等式の多次元版）
(5) (p. 7, 問) 三点 P1 (x1 , y1 , z1 ), P2 (x2 , y2 , z2 ), P3 (x3 , y3 , z3 ) を頂点とする三角形の面積を求めよ．
1
(6) (p. 8, 問 1])（イ），
（ロ）に答えよ．
(7) (p. 8, 問 2])（イ），
（ロ）に答えよ．
(8) (p. 10, 問 1) 二個の一次方程式 x + 2y + 3z = 1, 3x + 2y + z = −1 の表わす直線のベクトル表示を求めよ．
(9) (p. 10, 問 2) 直線 (ℓ) : x = x1 + ta 上の二点 P1 , P2 の位置ベクトルを x1 , x2 とするとき，線分 P1 P2 上
の点の位置ベクトルは，次の形に表わされることを示せ : t1 x1 + t2 x2 , (t1 , t2 ≤ 0, t1 + t2 = 1)
(10) (p. 9–10 を参照) ベクトル a = (a1 , a2 ), x = (x1 , x2 ) と実数 c に対して，方程式 (a, x) = c および
(a, x) = 0 はどのような直線を表わしているかを述べよ．
(11) (前問の続き) 点 b = (b1 , b2 ) と直線 (a, x) = c の距離が |(a, b) − c|/||a|| で与えられることを確かめよ．
2

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