1 2 a; b は定数であり，0 < a < b とする．定積分 I= Z 1 0 x= 1¡t t a b dt b +a b y= B cos 2µ sin µ #¡ ¼ ¼ ; 5µ5 4 4 めよ． (2) 0 5 t 5 1 のとき， a cos 2µ cos µ; (1) 曲線 C 上で y 座標が最大となる点の座標を (p; q) とする．(p; q) を求 (1) I を求めよ． t 1¡t B と表される曲線を C とする．について，次の問に答えよ． 1¡t t xy 平面上で，媒介変数 µ により (2) 曲線 C で囲まれた図形のうち x = p の部分の面積を求めよ．ただし，p は B = 2 ab (1) で求めた x 座標である． p であることを示せ．また，I > ab を示せ．（埼玉大学 2014 ） (3) 0 < t < 1 とする．x > 1 のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ． xt < 1 + t(x ¡ 1) (4) (3) の不等式を利用して，I < a+b を示せ． 2 3 （佐賀大学 2015 ） 3 3 3 x; + x と g(x) = x について，以下の問いに答 2 4 4 えよ．ただし，0 5 x 5 2¼ とする．関数 f(x) = sin # (1) y = f(x) と y = g(x) のグラフの共有点を求めよ． (2) y = f(x) と y = g(x) のグラフで囲まれた図形を，x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積を求めよ．（三重大学 2014 ） 4 4 上に 2 点 P(1; 4)，Q(4; 1) をとる．直線 ` : y = kx (k < x 0) に垂直な直線で P を通るものを `P とし，Q を通るものを `Q とする．こ曲線 C : y = のとき，次の問いに答えよ． (1) `P ，`Q の方程式を求めよ． (2) `P と ` の交点 R の x 座標を求めよ．また，`Q と ` の交点 S の x 座標を求 5 自然数 n に対して，fn (x) = (3) C; `; `P ; `Q で囲まれた図形の面積 M を求めよ． x 0 dt とおく．このとき，次の問い (t2 + 1)n に答えよ． (1) f1 (1) を求めよ． 1 (2) g(x) = f1 # ; とおく．g0 (x) を求め，x > 0 のとき x f1 (x) + g(x) = めよ． Z ¼ 2 が成り立つことを示せ． (4) k を動かすとき，M の最大値を求めよ． (3) lim f1 (x) を求めよ． x!1 （富山大学 2014 ） (4) 部分積分法を用いて， fn (x) = x + 2nfn (x) ¡ 2nfn+1 (x) (x2 + 1)n が成り立つことを示せ． 2n¡3 Cn¡1 (5) lim fn (x) = ¼ (n = 2) であることを示せ．ただし，m Ck = x!1 22n¡2 m! とする． (m ¡ k)!k! （富山大学 2014 ）