I = Z 1 - SUUGAKU.JP

1
a; b は定数であり，0 < a < b とする．定積分
I=
Z
1
0
3
a1¡t bt dt
3
3
3
x; + x と g(x) =
x
2
4
4
について，以下の問いに答えよ．ただし，0 5
関数 f(x) = sin #
x 5 2¼ とする．
(1) y = f(x) と y = g(x) のグラフの共有点を求
について，次の問に答えよ．
めよ．
(1) I を求めよ．
(2) y = f(x) と y = g(x) のグラフで囲まれた図
(2) 0 5 t 5 1 のとき，
a1¡t bt + at b1¡t
形を，x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の
B
= 2 ab
体積を求めよ．
（三重大学 2014 ）
p
であることを示せ．また，I > ab を示せ．
(3) 0 < t < 1 とする．x > 1 のとき，次の不等式
が成り立つことを証明せよ．
xt < 1 + t(x ¡ 1)
(4) (3) の不等式を利用して，I <
a+b
を示せ．
2
（佐賀大学 2015 ）
4
4
上に 2 点 P(1; 4)，Q(4; 1)
x
をとる．直線 ` : y = kx (k < 0) に垂直な直線
曲線 C : y =
で P を通るものを `P とし，Q を通るものを `Q
とする．このとき，次の問いに答えよ．
2
xy 平面上で，媒介変数 µ により
x=
B
cos 2µ cos µ;
y=
B
cos 2µ sin µ
(1) `P ，`Q の方程式を求めよ．
#¡
¼
¼
5 µ 5 (2); `P と ` の交点 R の x 座標を求めよ．また，`Q
4
4
と ` の交点 S の x 座標を求めよ．
と表される曲線を C とする．
(1) 曲線 C 上で y 座標が最大となる点の座標を
(p; q) とする．(p; q) を求めよ．
(2) 曲線 C で囲まれた図形のうち x = p の部分の
面積を求めよ．ただし，p は (1) で求めた x 座
標である．
（埼玉大学 2014 ）
(3) C; `; `P ; `Q で囲まれた図形の面積 M を求
めよ．
(4) k を動かすとき，M の最大値を求めよ．
（富山大学 2014 ）
5
Z
x
dt
と
(t2 + 1)n
おく．このとき，次の問いに答えよ．
自然数 n に対して，fn (x) =
0
(1) f1 (1) を求めよ．
1
(2) g(x) = f1 # ; とおく．g0 (x) を求め，x > 0
x
のとき
f1 (x) + g(x) =
¼
2
が成り立つことを示せ．
(3) lim f1 (x) を求めよ．
x!1
(4) 部分積分法を用いて，
fn (x) =
x
+ 2nfn (x) ¡ 2nfn+1 (x)
(x2 + 1)n
が成り立つことを示せ．
2n¡3 Cn¡1
(5) lim fn (x) =
¼ (n = 2) である
x!1
22n¡2
m!
と
ことを示せ．ただし，m Ck =
(m ¡ k)!k!
する．
（富山大学 2014 ）

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