微分積分学 II 中間試験問題(2013 年12月

微分積分学 II 中間試験問題 (２０１３年１２月)
氏名
学籍番号
1.
2.
次の極限が存在するか調べ、存在する場合には極限値を求めよ。（各４点）
x2 y
(1)
lim
(x,y)→(0,0) x3 + y 3
(2)
x3 − y 3
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
(3)
x−y
(x,y)→(0,0) sin π(x − y)
lim
lim
次の関数 f (x, y) に対して fx (x, y) を求めよ。（各２点）
(1) f (x, y) = 3 sin(x + y) − 2 cos(x − y)
(2)
f (x, y) = sin(x + y) cos(x − y)
(3)
f (x, y) =
x−y
x+y
3.
次の関数 f(x, y) の原点 (0, 0) における連続性を調べよ。（４点）
 √ xy
(x, y) ̸= (0, 0)
x2 + y 2
f (x, y) =
 0
(x, y) = (0, 0)
4.
f (x, y) = ex+y sin(x − y) について、偏導関数 fx (x, y), fy (x, y) および２次偏導関数
fxx (x, y), fxy (x, y), fyy (x, y) を求めよ。（１０点）
5.
f (x, y) = (x − y)ex+y の全微分 df を求めよ。（５点）
6.
曲面 z = f (x, y) = e2x−y の (1, 1, f (1, 1)) における接平面および yz 平面に平行な接線
を求めよ。（８点）
7.
g ′ (t) = e−t , z(x, y) = g(xy) のとき、zx (x, y) を求めよ。（５点）
8.
fx (x, y) = −
9.
2
x2
y
x
, fy (x, y) = 2
のとき、次の問いに答えよ。（各５点）
2
+y
x + y2
(1)
x(t) = sin t, y(t) = cos t, z(t) = f (x(t), y(t)) のとき、z ′ (t) を求めよ。
(2)
x(s, t) = es sin t, y(s, t) = es cos t, z(s, t) = f (x(s, t), y(s, t)) のとき、
zs (s, t) を求めよ。
次の関数 f (x, y) のマクローリン展開を指示された次数までの項を求めよ。剰余項は不
要である。（各５点）
1
(1) f (x, y) =
（２次まで）
1−x+y
(2)
f (x, y) = e−x cos(x + y)（２次まで）
(3)
f (x, y) = log(1 + x + 2y)（３次まで）
10.
(1)
sin x
π
π
(− < y < ) について次の問いに答えよ。（(1) ４点 (2) ６点）
cos y
2
2
３次導関数 fxxx (x, y), fxyy (x, y) をそれぞれ求めよ。
(2)
f (x, y) のマクローリン展開における x3 , xy 2 の係数をそれぞれ求めよ。
関数 f (x, y) =
dy
を x, y を用いた式で表せ。（５点）
dx
11.
x3 + y 3 − 6xy = 0 について、
12.
曲線 x3 − 2x2 + x − y 2 = 0 の接線について調べよ。（１０点）

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