) ( ) ( ) 8 f x y f x f y xy + = + + (0) 3 f ′ = f a′ f x の x a (0) f (1) , ( 1) f f

466_関数方程式
関数方程式
演習問題
http://www.geocities.jp/ikemath
演習問題
３年

すべての実数 x の値において微分可能な関数 f ( x) は次の 2 条件を満たすものとする．
(A)
すべての実数 x，y に対して f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) + 8 xy
f (0) = ア
(2)
lim
(3)
f ′(1) = ウ , f ′(−1) = − エ
(4)
y →0
1
⌠
⎮ f ( x)dx = オ
⌡0
1
(東京理科大)
1
解答欄
ウ
エ
微分可能な関数 f ( x) と 2 つの定数 p，q が次の条件を満たすとする．
f (0)' 0 とする．
(ア) p + q = 1 であることを示せ．
(イ) f ( x) は定数関数であることを示せ．
(2) f (0) = 0 で f ( x) が定数関数でないとする．
(ア) p = 1 であることを示せ．
(イ) a = f ′(0) とするとき， f ( x) を a を用いて表せ．
f ( y)
= イ
y
イ
氏名
(1)
1
ア
番
「すべての実数 x，y に対して， f ( x + y ) = pf ( x) + qf ( y ) が成り立つ」
f ′(0) = 3
ここで， f ′(a ) は関数 f ( x) の x = a における微分係数である．
(B)
(1)

組
オ
(富山大･医)
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
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f ( x) はすべての実数 x において微分可能な関数で，関係式 f (2 x) = (e x + 1) f ( x) を満たして
いるとする．
(1)
f (0) = 0 を示せ．
(2)
f ( x)
x ' 0 に対して x
=
e −1
(3)
(4)
( )
f x
2
x
2
が成り立つことを示せ．
e −1
微分係数の定義を用いて f ′(0) = lim
h →0
f ( h)
を示せ．
eh − 1
f ( x) = (e x − 1) f ′(0) が成り立つことを示せ．
(早稲田大)

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