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解析学 D 自習用問題 No.6
（2014.11.7 配布）
プリントは http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~takimoto/H26KaiD.html にも置いてあります．
以下の問題は皆さんが自習をするための練習問題です．レポートにして提出する必
要はありません．略解は HP に掲載します．
(1) n を 2 以上の整数とし，I ⊂ R を区間，f1 , f2 , . . . , fn ∈ C n−1 (I) とする．このとき，
Wronskian W [f1 , f2 , . . . , fn ] の定義を述べよ．
(2) 次の関数の組が一次独立であることを，Wronskian を計算することにより証明せよ．
(i) x, x log x (x ∈ (0, ∞))
(ii) x, ex , xex (x ∈ R)
(iii) 1, x, x2 , x3 (x ∈ R)
(3) f1 (x) = x3 , f2 (x) = |x|3 (x ∈ R) とおく．
(i) f10 (0), f20 (0) を求めよ．
(ii) Wronskian W [f1 , f2 ](x) を計算せよ．
（x > 0 と x = 0 と x < 0 で場合分け）
(iii) f1 , f2 は一次独立であるか否かを判定せよ．
(iv) この問題が示唆していることを述べよ．
(4) I を区間，x0 ∈ I とおく．a1 , a2 , a3 ∈ C(I) に対し，斉次 3 階線形常微分方程式
y 000 + a1 (x)y 00 + a2 (x)y 0 + a3 (x)y = 0 (x ∈ I)
· · · (∗)
の解の全体を S とおく．
（即ち，S = {f ∈ C 3 (I) | f は (∗) の解 }）
(i) 講義で学んだ方法に倣って，S が C 3 (I) の 3 次元部分空間となることを示せ．
(ii) (∗) の解の中で y(x0 ) = 0 を満たすものの全体も，C 3 (I) の部分空間となること
を示し，その次元を求めよ．
（ここでは常微分方程式の初期値問題の解の存在と一意性に関する定理は認める）
(5) f1 (x) = cos x, f2 (x) = cos 3x, f3 (x) = sin x, f4 (x) = sin 3x とする．いま，
aij (x) =
di−1
fj (x),
dxi−1
i ∈ {1, 2, 3, 4}, j ∈ {1, 2, 3, 4}
d0
fj (x) = fj (x) と定義する．
dx0
(
)
このとき，4 × 4 行列 A(x) = aij (x) i=1,2,3,4 の行列式 det A(x) を求めよ．
とおく．ただし，
j=1,2,3,4
（頑張って直接計算しても確かに答は出るが，線形常微分方程式の一般論を用いたエレガントな解答を求む！）

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