2013 年度線形代数学 II(数理) 期末試験（溝畑潔）１ 3 次元空間において次の問いに答えよ.   1  (1) 原点を含む法線ベクトル   2  の平面 S の方程式を求めよ. −1 (2) 点 (4, 5, 2) から平面 S に垂線 l を下ろす. 直線 l の方程式と l と S の交点を求めよ. (3) 直線 l を含み点 (0, 0, 0) も含む平面の方程式を求めよ. ２    ¯   x ¯¯    ¯ 3 V = R として、W =  y ¯ 2x = y = 3z とする.  ¯    z ¯ (1) (2) (3) (4) W が V の部分空間である事を示せ. W の基底と次元を求めよ. W の V における直交捕空間を求めよ. (3) で求めた空間（W の V における直交捕空間）の正規直交基底を 1 組求めよ.   −1 −2 4  ３ A =  −2 2 2  とする. 4 2 −1 (1) A の固有値を求めよ. (2) 直交行列を用いて行列 A を対角化せよ. ４ n 行 n 列の実行列 A の rank が r であり, A2 = A を満たすとする. Rn の線形変換 TA (x) = Ax (x ∈ Rn ) を考える. 次の問いに答えよ. (1) Ker(TA ) の次元を求めよ.(答えのみは 0 点. 説明せよ) (2) W = {x ∈ Rn |Ax = x} とする。任意の x ∈ Rn に対して Ax ∈ W であることを示せ. (3) x = Ax + x − Ax を用いて Rn = Ker(TA ) ⊕ W を示せ. (4) A の固有値を λ1 , λ2 , · · · , λ1 , とすると λ1 + λ2 + · · · + λn = tr(A)(対角成分の和) となることを示せ. (ヒント固有多項式 gA (t) = |tE − A| の tn−1 の係数) (5) tr(A) = r を示せ. ５ n 行 m 列の実行列 A の rank が m とする。もし m 行 l 列の実行列 B と C が AB = AC を満たせば B = C であることを示せ. 1