2010 年度「数学 8」 − 40 − < フーリエ変換 4 > 例 h 2i e−t を求めたい。 Z d F (x) = dx i = 2 Z ∞ ∞ −t2 e −∞ h 2i Z e−t = µ ¶ Z ∞ 2 d −ixt dt = e−t (−it)e−ixt dt e dx −∞ e −∞ i dt = 2 ∙µ ここで 39 ページ補題 4 より Z ∞ −∞ µ d −t2 e dt である。P.30 の結果より x2 4 C = F (0) = Z ∞ 2 e−t e0 dt = −∞ 2 e−t dt = 問 正定数 α に対して e i dt = 2 ∙µ d −t2 e dt ¶¸ h 2i e−t だから = ix √ Z ∞ π であり, 2 2 e−t dt = 2 −∞ 2 e−t i = F (x) = Z 0 よって h −ixt (C は定数) 0 ∞ ¶¸ ¶ d x F (x) = − F (x) の解は dx 2 F (x) = Ce− Z d −t2 e dt h 2i x e−t = − F (x) 2 i d F (x) = × ix dx 2 となる。微分方程式 2 e−t e−ixt dt = F (x) とおく。 −∞ −t2 −ixt (−2t)e ∞ √ − x2 πe 4 h i 2 e−αt を求めよ。 ∞ 2 e−t dt = √ √ π より C = π 。
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