確率論：レポート1

確率論：レポート１
担当：熊谷隆
締切：2014 年 6 月 19 日
以下の６題から２題以上選択して答えよ。ただし (⌦, F, P ) は確率空間とする。
１。 1) {An } ⇢ F, A1 ⇢ A2 ⇢ A3 ⇢ · · · のとき、limn!1 P (An ) = P ([1
i=1 Ai ) を示せ。
2) {An } ⇢ F, A1 A2 A3 · · · のとき、limn!1 P (An ) = P (\1
i=1 Ai ) を示せ。
２。 (S, S) を可測空間とする。確率変数 X : ⌦ ! S に対して P X (E) := P (X
8E 2 S と定めると、(S, S, P X ) は確率空間になることを示せ。
1
(E)),
R
2
1
３。実数上のボレル集合 A に対し、µ(A) = p2⇡v
exp( (x 2vm) )dx で定まる正規分布
A
N (m, v) を考える（ただし v > 0, m 2 R とする）。この分布は、平均 m、分散 v であり、
p
その特性関数を 'µ とおくと 'µ (⇠) = exp(
1⇠m v⇠ 2 /2) であることを示せ。
• Z+ := N [ {0} に値を取る確率変数 N が以下を満たすとき、N はパラメーター
のポアソン分布 (Poisson distribution) にしたがうという。
k
P (N = k) = e
p
k!
,
>0
k 2 Z+
p
４。 1) ポアソン分布 N の特性関数 E[e 1⇠N ] は、exp( (e 1⇠ 1)) であることを示せ。
P
2) {Xi }ni=1 が独立で、各 Xi の分布が i), ii) の場合に、これらの和 S = ni=1 Xi の分布を
それぞれ求めよ。
i) パラメーター i > 0 のポアソン分布 ii) N (mi , vi )
５。確率変数列 Xn が X に確率収束するとき、うまく部分列 {nj } をとることにより Xn
が X に概収束するようにできることを、以下の方法で示せ。
1) Mnj = {! 2 X : |Xn (!) X(!)| > 1/j} とおくと、各 j について nj を大きくとって
P (Mnj j ) < 1/j 2 とできることを示せ。
2) 1) の Mnj j を Aj とおき、E = lim supj!1 Aj とおくとき、P (E) = 0 を示せ。さらに、
! 2 ⌦ \ E では j ! 1 のとき Xnj (!) ! X(!) となることを示せ。
６。 1) 確率変数列 Xn が X に概収束するならば、Xn は X に確率収束することを示せ。
また、逆は一般に成り立たないことを反例を挙げて示せ。
2) Xn , X 2 L1 (⌦, P ) のとき、limn!1 E[|Xn X|] = 0 ならば Xn が X に確率収束するこ
とを示せ。

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