幾何学 B（担当：酒井）２０１４年１０月１３日演習問題 1. U = R2 \{0} 上の 1 次微分形式を次で与える． ω := (1) 接ベクトル場 X := −x2 −x2 x1 1 dx + dx2 (x1 )2 + (x2 )2 (x1 )2 + (x2 )2 ∂ ∂ + x1 2 について，ω(X) を求めよ． 1 ∂x ∂x ∫ (2) 曲線 γ : [0, 2π] → U, γ(t) = (cos t, sin t) について，線積分 ω を求めよ． γ 2. γ : [t0 , t1 ] → U を Rn の開集合 U 内の C 1 級曲線とする．τ : [s0 , s1 ] → [t0 , t1 ] は τ (s0 ) = t0 , τ (s1 ) = t1 となる C 1 級の単調増加関数とし，γ e := γ ◦ τ : [s0 , s1 ] → U と定める．このとき，U 上の 1 次微分形式 ω について， ∫ ∫ ω= ω γ γ e が成り立つことを示せ．すなわち，線積分の値は曲線のパラメータのとり方に依らない． 3. U を y に対する Rn の星形の開集合とし，y と x ∈ U をむすぶ線分を γx : [0, 1] → U, γx (t) = ∂fj ∂fi tx + (1 − t)y と表す．f1 , . . . fn ∈ C 1 (U ) は積分可能条件 j = (i, j = 1, . . . , n) をみ ∂x ∂xi 1 n たすとする．このとき，1 次微分形式 ω := f1 dx + · · · + fn dx に対して， ∫ F (x) := ω γx と定義すると，F ∈ C 2 (U ) であり，dF = ω が成り立つことを示せ．