複素解析 I 演習 (第 4 回) 2014 年 5 月 23 日コーシーの積分定理 D を

複素解析 I 演習
(第 4 回)
2014 年 5 月 23 日
コーシーの積分定理 D を単純閉曲線の内部領域とし，
C を D 内の区分的に C 1 級の単純閉曲線とする．この
∫
とき，D 上の任意の正則関数 f に対して
f (z)dz = 0 が成り立つ．
C
4-1 次の複素積分の値を求めよ．ただし，解答への道筋，理由などを詳しく説明すること．また，|z − a| = r
は中心 a ∈ C，半径 r の円周を正の向きに回る曲線とする．
∫
∫
∫
∫
1
1
ez
1
(1)
dz
(2)
dz
(3)
dz
(4)
dz
z
−
3
z
z
(z
−
2)3
|z|=2
|z|=2
|z−2|=1
|z−2|=1
4-2 b > 0, R > 0 に対して，C1 , C2 , C3 , C4 を次の線分とする．
C1 = {z = x; −R 5 x 5 R},
C2 = {z = R + it; 0 5 t 5 b},
C3 = {z = x + ib; −R 5 x 5 R},
C4 = {z = −R + it; 0 5 t 5 b}.
∫
2
2
(1)
e−z dz,
e−z dz が R → ∞ のとき 0 に収束することを示せ．
C2
C4
∫
2
(2) C = C1 ∪ C2 ∪ (−C3 ) ∪ (−C4 ) とおくと，コーシーの積分定理より
e−z dz = 0 である．このことを用
∫
いて
C
∫
∞
e−x cos(2bx)dx =
2
√ −b2
πe
−∞
∫
が成り立つことを示せ．ただし，
∞
e−x dx =
2
√
π は証明なしで用いてよい．
−∞
2
π
4-3 (1) 0 5 θ 5 のとき θ 5 sin θ 5 θ が成り立つことを示せ．
2
π
∫ π/2
(2)
e−R sin θ dθ → 0 (R → ∞) が成り立つことを示せ．(以下の２問で用いる)
0
4-4 R > 0 に対して次の線分と弧を考える．
C1 (R) = {z = x; 0 5 x 5 R},
∫
C2 (R) = {z = Reiθ ; 0 5 θ 5
π
},
4
iπ
C3 (R) = {te 4 ; 0 5 t 5 R}.
e−z dz, i = 1, 2, 3 に対する関係式をコーシーの積分定理から導け．
2
(1)
∫Ci (R)
e−z dz は R → ∞ のとき 0 に収束することを示せ．
C (R)
√
∫ 2
∫
∫ ∞
∫ ∞
2
1+i R
π
(3)
e−z dz = √
(cos(t2 ) − i sin(t2 ))dt を示し，
cos(t2 )dt =
sin(t2 )dt = √ を示せ．
2
2
2
C3 (R)
0
0
0
——————————————————————————————————
∫ ∞
sin x
π
dx = を次の順に示せ．
4-5
x
2
0
(1) 0 < r < R とし，C1 (R), C2 , C3 (r), C4 を次の曲線，線分とする．
(2)
2
C1 (R) = {Reiθ ; 0 5 θ 5 π},
C2 = {x; −R 5 x 5 −r},
C3 (r) = {re ; 0 5 θ 5 π},
C4 = {x; r 5 x 5 R}.
∫
f を正則関数とするとき，
f (z)dz, i = 1, 2, 3, 4 に成り立つ関係式をコーシーの積分定理より導け．ただし，
iθ
Ci
C1 (R),
は，それぞれ，C1 , C3 と略記した．
∫ C3 (r)
eiz
dz の r → 0+ としたときの極限値を求めよ．
(2)
z
∫
∫
[
]
∫C3 (r) iz
e
(3)
dz は R → ∞ のとき 0 に収束することを示せ．ヒント：
f (z) dz 5
|f (z)| |dz|
z
C
C
1 (R)
∫C∞
∫ ∞ ix
π
sin x
e − e−ix
(4)
dx =
dx = を示せ．
x
2ix
2
0
0

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