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演習：数式の証明①
1 n
E ( xi )   (i  1,2,  , n)のとき、 x   xi
n i 1
ならば E ( x)  を示せ
 前のページの証明
 標本を無限に抽出した時の平均は、母集団の平均と一致す
ることの証明
1
演習：数式の証明①
1 n
E ( xi )   (i  1,2,  , n)のとき、 x   xi
n i 1
ならば E ( x)  を示せ
【解答】
1
 1
E ( x)  E   x i    E ( xi )
n
 n
1
 E ( x1 )  E ( x2 )    E ( xn )
n
1
1
           n  
n
n
n個のμ
2
演習：数式の証明②
xi (i  1,2,  , n)が互いに独立で V ( xi )   のとき、
2
V ( x)   nを示せ
2
 グラフのページの証明
 標本を無限に抽出した時の分散は、母集団の分散÷N数で
あることの証明
3
演習：数式の証明②
xi (i  1,2,  , n)が互いに独立で V ( xi )   2のとき、
V ( x)   2 nを示せ
【解答】
xiは独立なので、共分散 cov( xi )  0
ゆえに
1
 1
V ( x)  V   xi   2 V ( x1 )  V ( x2 )    V ( xn )
n
 n
2
1 2
1

 2    2     2  2 n 2 
n
n
n


n個のσ2
4
標本の重要な性質
■N個からなる母集団からｎ個の標本を抽出方法は、
N Cn 通り
存在する
平均  , 分散
 
2
 
 標準偏差 
n 
n
⇒標本の性質を理解するために（1個の標本ではなく）個
の標本の平均・分散の性質を調べる
平均値の期待値の証明
サンプルの取り出し方は、
N
Cn  N ! ( N  n)!n!通り
1
1

1
 ( x1  x2  ...  xn 1  xn )  ( x1  x2  ...  xn 1  xn 1 )  ...  ( x N  n 1  x N  n  2  ...  x N )
n
n

n
x1  x2  ...  xn 1  xnが n N Cn N 個
E ( x) 
1
N Cn
よって
1
E ( x) 
N Cn
よって
E ( x)  x
 1
 1 n N Cn
)
x

x

...

x

x
(


n 
n 1
2
1
N
n
 N

N
x
i 1
i
分散の期待値の証明
V 2 ( x)   2
1 1


 ( x1  x2  ...  xn 1  xn )  E ( x)

N Cn  n
1

  ( x1  x2  ...  xn 1  xn 1 )  E ( x)
n

 ...
2
1

  ( x N  n 1  x N  n  2  ...  x N )  E ( x)
n

2
2
分散の期待値の証明
1
2
2
2
 2 ( x1  x2  ...  xn 1  xn )  ( x1  x2  ...  xn 1  xn 1 )  ...  ( x N  n 1  x N  n  2  ...  x N ) 
n

1
1


2 E ( x) 2 ( x1  x2  ...  xn 1  xn )  ( x1  x2  ...  xn 1  xn 1 )  ...  ( x N  n 1  x N  n  2  ...  x N )
n

N Cn

1
N Cn

1
N Cn
 C E ( x) 
2
N
n
同様にさらに、
1 N 2
n 1
第1項 
x

2
x j xk
 i Nn( N  1) 
Nn n 1
j k
第2項  2 E ( x)  E ( x)
 
2
第3項  2 E ( x)  E ( x)  E ( x)   x
2
1
1 
  xi    2
N
N 
N
x
n 1
2
i
2
1
 x j xk
N 2 j k
分散の期待値の証明
 n 1
1 
1N 2
 1
 2  x j x k
  xi  2
V ( x)  
 Nn N 
 Nn( N  1) N  j  k
nN
N n N 2
x j xk
 2  xi  2 2

N n( N  1) j  k
N n
N  n  N 1 N 2 2


 xi  N 2
n( N  1)  N 2

x
x

j k
jk


N  n  N  1 N 2 1  N 2


x
x

x

x

 2  i

j k 
2  i
N 
n( N  1)  N
jk

N  n  1


n( N  1)  N

N n  1


n( N  1)  N
N n 2

N 1 n
 1
2

x
 i  N 2

N
2
2
x

x
 i 

N

2
x
 i 

N
2




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