年番号氏名 1 関数 f(x) = 4 ¡ jxjx 2 + x (x Ë ¡2)について次の問いに

年番号
1
関数 f(x) =
氏名
4 ¡ jxjx
(x Ë ¡2) について次の問いに答えよ．
2+x
(1) f 0 (0) を求めよ．
(2) f 0 (x) が x = 0 で連続であることを示せ．
Z1
(3)
f(x) dx を求めよ．
¡1
（富山大学 2008 ）
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2
n = 1; 2; 3; Ý に対して，関数 Pn (t); Qn (t) (¡1 5 t 5 1) を次のように定義
する．
P1 (t) = t;
Q1 (t) = 1
Pn (t) = tPn¡1 (t) ¡ (1 ¡ t2 )Qn¡1 (t)
Qn (t) = Pn¡1 (t) + tQn¡1 (t)
(n = 2; 3; 4; Ý)
(n = 2; 3; 4; Ý)
次の問いに答えよ．
(1) n = 1; 2; 3; Ý に対して，
cos nx = Pn (cos x)
(0 5 x 5 ¼)
sin nx = sin xQn (cos x)
(0 5 x 5 ¼)
が成り立つことを示せ．
(2) Pn (1); Qn (1) (n = 1; 2; 3; Ý) を求めよ．
(3) P6 (t) = 1 となる t をすべて求めよ．
（富山大学 2008 ）
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3
水平な平面 ® を考える．® 上の点を中心とし半径が 1 である球 S の，® より上に
ある部分を H とする．平行光線が ® と H に斜め上からあたっていて，® 上に H
¼
; であ
の影ができているとする．その平行光線と ® とのなす角が µ #0 < µ <
2
るとき，次の問いに答えよ．なお，半径 1 の球の表面積が 4¼ であることは用いて
よい．
(1) H の，光線があたっている部分の面積 A1 を求めよ．
(2) ® 上にできる影の面積 A2 を求めよ．ただし，® と S とが交わってできる円の内
部は影とは呼ばないこととする．
(3) A1 + A2 を最小にするような µ を µ0 とするとき，cos µ0 の値を求めよ．
（富山大学 2008 ）
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