代数学基礎演習 XII 1. Z/2Z × Z/2Z の部分群をすべて書きあげよ。 2. アーベル群の同型写像 φ : Z/3752130Z → Z/1086Z × Z/3455Z; x mod 3752130 7→ (x mod 1086, x mod 3455) の逆写像 φ−1 を考える。φ−1 ((1, 0)) および φ−1 ((0, 1)) をそれぞれ具体的に求めよ。 3. (i) 位数 24 のアーベル群で互いに同型でないものは全部で何個存在するか。また位数 24 のアーベル群を同型を除いてすべて分類せよ。 (ii) 位数 72 のアーベル群で互いに同型でないものは全部で何個存在するか。 4. 次にあげる Z3 の部分群の基底をそれぞれ求めよ。 (i) (1, 0, −1), (2, −3, 1), (0, 3, 1), (3, 1, 5) で生成される部分群。 (ii) x + 2y + 3z = 0, x + 4y + 9z = 0 を満たす解 (x, y, z) たちがなす部分群。 5. アーベル群 A = ⟨x, y, z⟩ の生成元 x, y, z がつぎの関係式を満たすとき A を巡回群の直積にあらわせ。 (i) 3x + 2y + 8z = 0, 2x + 4z = 0 (ii) 2x + y = 0, x − y + 3z = 0 (iii) x + y = 0, 2x = 0, 4x + 2z = 0, 4x + 2y + 2z = 0 (iv) 7x + 5y + 2z = 0, 3x + 3y = 0, 13x + 11y + 2z = 0     1 1 −1 0 −1 0     6. 行列 A = −1 −1 −1 と B =  1 1 1 に対してそれぞれ Z3 の部分群 1 3 1 −1 −1 3 Z3 A = {(x, y, z)A | x, y, z ∈ Z} と Z3 B を考える。Z3 /(Z3 A) と Z3 /(Z3 B) は互いに同型であるかないか，理由も込めて判定せよ。 7. 次の行列の単因子を求めよ：   −1 2 −6 3   −6 4 −2 2 1 −2 −12 −3 ———————————————————————————— ⟨ 有限アーベル群の指標群 ⟩ 群 G から C1 = { 絶対値 1 の複素数全体 } (乗法群) への群準同型写像 χ : G → C1 を G の指標という。 1 8. χ : G → C1 を指標とする。x, y ∈ G が互いに共役ならば χ(x) = χ(y) であることを示せ。 b = {G の指標全体 } は χ, χ′ ∈ G b の積 χχ′ を χχ′ (x) := χ(x)χ′ (x) (x ∈ G) で定めて群 9. G b の単位元，また χ ∈ G b の逆元はなにか。G b を G の指標群とよぶ。となることを示せ。G b も n 次巡回群と同型であることを示せ。 10. G が n 次巡回群ならば指標群 G ∼ b bb b をつくれ (Hint：G b の指標 11. 有限アーベル群 G に対して自然な群同型写像 G → G はG bb 群。準同型 G → G を自然につくり全単射を示す。有限アーベル群の構造定理により巡回群の場合に帰着)。 b に対して 12. G を有限アーベル群とする。部分群 H < G および Y < G b | χ(h) = 1, ∀h ∈ H} H ⊥ := {χ ∈ G Y ⊥ := {x ∈ G | η(x) = 1, ∀η ∈ Y } b また Y ⊥ < G であることを示せ。と定めると，H ⊥ < G b に対して (H ⊥ )⊥ = H, 13. (i) G を有限アーベル群とする。部分群 H < G および Y < G (Y ⊥ )⊥ = Y を示せ。 b の部分群全体 } との間には H 7→ H ⊥ および Y 7→ Y ⊥ によっ (ii) {G の部分群全体 } と {G て包含関係を逆にする 1 対 1 対応がつくれることを示せ。 c2 → G c1 14. アーベル群の間の群準同型 φ : G1 → G2 に対して指標群の間の群準同型 φ∗ : G を自然につくれ。 15. G を有限アーベル群，H < G とするとき自然な同型 ∼ b b ⊥→ G/H H, ∼ [ → G/H H⊥ b→H b (定義域の制限) の全射性を示し（位をつくれ (Hint: H → G に対応する群準同型 G [ →G b の単射性を示し，さ数の勘定），さらに kernel を調べよ。G → G/H に対応する G/H らに image を調べよ)。 16. 6 次巡回群 G = ⟨a | a6 = e⟩ の部分群 H = {e}, ⟨a3 ⟩, ⟨a2 ⟩, G のそれぞれに対して b = ⟨χ | χ6 = χ0 ⟩ を求めよ (χ0 は自明指標, χ0 : G → {1} < C1 )。 H⊥ < G b をその指標群とする。このとき等式 17. G を有限アーベル群，G   #G #G ∑ ∑ χ = χ0 のとき χ(x) = , χ(x) =  0  0 χ ̸= χ0 のとき b χ∈G x∈G を示せ。 2 x = e のとき x ̸= e のとき