(2) 4PnQnPn+1

1
座標平面上の直線 y = mx (m > 0) を ` とする．点 (1; 0) を P1 とし，P1 から ` に下ろした垂
3
線の足を Q1 ，Q1 から x 軸に下ろした垂線の足を P2 とする．以下同様に Pn (n = 1; 2; Ý) か
(1) 関数 y = x log x ¡ x (x > 0) の増減を調べ，そのグラフをかけ．
ら ` に下ろした垂線の足を Qn ，Qn から x 軸に下ろした垂線の足を Pn+1 とする．このとき，次
次の問いに答えよ．
(2) a を正の実数とする．曲線 C : y = log(x + 1) 上の点 (t; log(t + 1)) における接線 `t が，曲
の問いに答えよ．
線 Ca : y = a log x 上の点 (s; a log s) における接線にもなっているとき，t と s の関係を a を
(1) 4P1 Q1 P2 の面積 S1 を m を用いて表せ．
(2) 4Pn Qn Pn+1 (n = 1; 2; Ý) の面積を Sn とするとき，級数
含まない式で表せ．
1
P
n=1
Sn の和 S を m を用いて表せ．
(3) 任意に与えられた t > ¡1 に対して，直線 `t が曲線 Ca の接線にもなっているような a が唯一
つ存在すること，および a > 1 であることを示せ．
(3) (2) における S が最大になる m と，そのときの S の値を求めよ．
（宇都宮大学 2011 ）
(4) 直線 `t が曲線 Ca の接線になっているとき，その接点の x 座標を s(t) とかくことにする．s(t)
を t の関数とみて増減を調べ，さらに lim (s(t) ¡ t) を求めよ．
t!1
（旭川医科大学 2013 ）
4
次の問いに答えよ．
Z
(1) a を実数とする．
¼
0
2
(2) 関数 f(x) =
a は実数とし，2 つの曲線
C1 : y = (x ¡ 1)ex ;
C2 : y =
(3) lim k
1 2
x +a
2e
k!1
2
Z
e
1
1
k
sin2 ax dx を a を用いて表せ．
log x
の増減を調べ，2 つの数 5961 ; 6159 の大小関係を決定せよ．
x
log x
dx を求めよ．ただし，k は自然数を動くものとする．
xk
（弘前大学 2015 ）
がある．ただし，e は自然対数の底である．C1 上の点 (t; (t ¡ 1)et ) における C1 の接線が C2
に接するとする．
5
関数 f(x) は微分可能で，導関数 f0 (x) は連続であるとする．p(x) = xe2x とおくとき，f(x)
は
(1) a を t で表せ．
(2) t が実数全体を動くとき，a の極小値，およびそのときの t の値を求めよ．
（北海道大学 2015 ）
Z
x
0
f(t) cos(x ¡ t) dt = p(x)
を満たしている．このとき次の問いに答えよ．
(1) f(0) = p0 (0) を示せ．
(2) f0 (x) = p(x) + p00 (x) を示せ．
(3) f(x) を求めよ．
（宮城教育大学 2012 ）
6
8 （新課程履修者）a > 0 とする．複素平面上で等式
次の問に答えよ．
(1) 極限値 lim
x!0
x(e3x ¡ 1)
を求めよ．
1 ¡ cos x
z ¡ ia =
z¡z
2i
(2) 関数 y = f(x) は 0 5 x 5 3 において連続で，f(x) > 0 とする．曲線 y = f(x)，x 軸，およ
を満たす点 z 全体の表す図形を C とする．ただし，i は虚数単位で，z は z と共役な複素数を
び直線 x = 0，x = 3 により囲まれた図形を D とする．D を x 軸のまわりに 1 回転してできる
表す．
回転体の体積は 6¼ であり，D を直線 y = ¡1 のまわりに 1 回転してできる回転体の体積は 13¼
(1) z = x + iy と表すとき，C の方程式を y = f(x) の形で表せ．
である．D の面積を求めよ．
（津田塾大学 2013 ）
(2) C 上の点 z で
z ¡ (2 + 2i) = z + (2 + 2i)
を満たすものを求めよ．
（学習院大学 2015 ）
7
原点を O とする座標平面において，次の極方程式で表される 2 つの曲線を考える．
r = f(µ) = 3 cos µ;
r = g(µ) = 1 + cos µ
ただし，0 5 µ < 2¼ とする．また，極座標が (f(µ); µ)，(g(µ); µ) である点をそれぞれ P，
Q とする．
(1) 点 P は，中心が直交座標で %
ア
イ
;
ウ
動く．
= であり，半径が
(2) 点 P(f(µ); µ) と点 Q(g(µ); µ) の間の距離は µ =
ケ
をとり，µ =
コ
のとき最大値
サ
¼
カ
である円の周上を
オ
キ
ク
¼ のとき最小値
をとる．
(3) 線分 PQ の中点が原点 O となるとき，点 P の直交座標は &
である．
および
エ
9
y2
= 1 を C とし，点 P(®; ¯) を ® > 0，¯ > 0 を満たす C 上の点と
9
する．点 P における C の接線 ` と x 軸，y 軸との交点をそれぞれ Q，R とおく．
座標平面上の楕円 x2 +
(1) ` の方程式を ®; ¯ を用いて表せ．
(2) 線分 QR の長さの 2 乗を ® を用いて表せ．
シ
スセ
; §
ソ
C
ツテ
タチ
>
（金沢工業大学 2014 ）
(3) 線分 QR の長さの最小値を求めよ．
（群馬大学 2015 ）

Download Report