微分積分学 II 中間試験問題(2015 年12月

微分積分学 II 中間試験問題 (２０１５年１２月)
氏名
学籍番号
1.
2.
次の関数 f (x, y) の偏導関数 fx (x, y), fy (x, y) を求めよ.（各４点）
なお, 解答の式は同類項をまとめるなどして, 簡潔な式で表すこと.
(1) f (x, y) = sin(−2x + y 2 )
(2)
f (x, y) = x log(x2 + y 2 )
(3)
f (x, y) = (x2 + y)exy
次の極限が存在するか調べ，存在する場合は極限値を求めよ．
（各４点）
√
√
x − 2y
(1)
lim
(x,y)→(2,1)
x − 2y
(2)
(3)
x2 y 2
(x,y)→(0,0) x2 + xy + y 2
lim
lim
xy
+ y2
(x,y)→(0,0) 2x2
3.
4.

y sin 1
xy
関数 f (x, y) =
0
について, 原点での連続性を調べよ.（４点）
(xy = 0)
√
関数 f (x, y) = 9 − x2 − y 2 について, 次の問いに答えよ.（各４点）
(1) 点 (1, 2, f (1, 2)) における接平面の方程式を求めよ．
(2)
5.
(xy 6= 0)
点 (1, 2, f (1, 2)) における yz 平面に平行な接線の方程式を求めよ．
次の問いに答えよ.（各５点）
(1) f (x, y) = x3 + y 6 , x(s, t) = st, y(s, t) = 2s − t とする. このとき, z(s, t) =
f (x(s, t), y(s, t)) の s に関する偏導関数 zs (s, t) を求め, s, t を用いた式で表せ.
(2)
関数 f (x, y) の偏導関数が fx (x, y) = yexy , fy (x, y) = xexy かつ x(t) = cos t,
y(t) = sin t とする. このとき, z(t) = f (x(t), y(t)) の導関数 z 0 (t) を求めよ.
(3)
１変数関数 f (t) と２変数関数 t(x, y) = ax + by の合成関数 z(x, y) = f (ax + by)
∂z
∂z
について, b
=a
が成立することを示せ.
∂x
∂y
6.
z = f (x, y) = xy (x > 0) の全微分 dz を求めよ.（５点）
7.
cos(x − 2y) のマクローリン展開を 4 次の項まで求めよ. ただし, 剰余項は求めなくてよ
い.（６点）
8.
関数 f (x, y) = e2x+3y + y log(1 + ex ) について次の問いに答えよ.
(1)
f (x, y) の２次までの偏導関数を全て求めよ.（９点）
(2)
f (x, y) のマクローリン展開を 2 次の項まで求めよ. ただし, 剰余項は求めなくて
よい.（４点）
(3)
fxyxyx (x, y) を求めよ.（３点）
(4)
f (x, y) のマクローリン展開における x3 y 2 の係数を求めよ.（４点）
9.
関数 f (x, y) = 2x3 − 4xy + y 2 + 2 について, 次の問いに答えよ.
(1)
次の文章中の空欄に当てはまる数式を入れよ.（各３点）
f (x, y) = 0 で定まる陰関数 y = ϕ(x) について調べる. 曲線 f (x, y) = 0 上の点
(a, b) が条件（ア）をみたすとき, 陰関数定理より, a を含む開区間で定義され
た連続関数 y = ϕ(x) で f (x, ϕ(x)) = 0 と b = ϕ(a) をみたすものが存在する. こ
dϕ
の y = ϕ(x) は微分可能であり, 導関数を x と y を用いて表すと
= （イ）
dx
である.
（ア） 10.
（イ） (2)
f (x, y) = 0 で定まる陰関数 x = ψ(y) が存在するか否かを, 陰関数定理を用いて
調べよ. また, x = ψ(y) の導関数を x と y を用いて表せ.（３点）
(3)
曲線 f (x, y) = 0 上の点 (−1, −4) における接線の方程式を求めよ.（３点）
 3
 xy
(x, y) 6= (0, 0)
関数 f (x, y) = x2 + y 2
について, 次の問いに答えよ.（各３点）

0
(x, y) = (0, 0)
(1) fy (0, 0) の値を求めよ.
(2)
fyx (0, 0) の値を求めよ.

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