x > 0 - SUUGAKU.JP

年番号
1
xy 平面において，次の式が表す曲線を C とする．
x2 + 4y2 = 1;
x > 0;
4
y>0
氏名
p
3 3
曲線 C :
= 36 (x > 0) 上の点 P $
; y1 < が第 1 象限にある．
2
点 P における曲線 C の接線を ` とする．
4x2
+ 9y2
(1) y1 の値を求めなさい．
P を C 上の点とする．P で C に接する直線を ` とし，P を通り ` と垂直な直
(2) 接線 ` の方程式を求めなさい．
線を m として，x 軸と y 軸と m で囲まれてできる三角形の面積を S とする．
(3) 接線 ` と x 軸との交点の x 座標を求めなさい．
P が C 上の点全体を動くとき，S の最大値とそのときの P の座標を求めよ．
(4) 曲線 C，接線 `，x 軸で囲まれた部分の面積 S を求めなさい．
（東北大学 2015 ）
（大分大学 2015 ）
p
2 （新課程履修者）複素数平面上に原点 O(0) と点 A(1 + 3i) がある．ただ
5 （新課程履修者）a > 0 とする．複素平面上で等式
し，i を虚数単位とする．このとき，次の問に答えよ．
p
(1) 複素数 1 + 3i を極形式で表せ．ただし，偏角 µ は 0 5 µ < 2¼ とする．
¼
だけ回転した点を表す複素数を求めよ．
(2) 点 A を原点のまわりに ¡
3
(3) 虚軸上の点 B(z) が OB = AB を満たすとき，複素数 z を求めよ．
を満たす点 z 全体の表す図形を C とする．ただし，i は虚数単位で，z は z
(4) (3) で求めた B(z) に対して，3 点 O，A，B を通る円の中心を表す複素数
と共役な複素数を表す．
を求めよ．
z¡z
2i
(1) z = x + iy と表すとき，C の方程式を y = f(x) の形で表せ．
（香川大学 2015 ）
3
z ¡ ia =
y2
x2
+
= 1 と直線 L : x ¡ 2y + 10 = 0 について考える．楕
9
4
円 C 上の点 P から直線 L に下ろした垂線と直線 L の交点を Q とする．線分
M
PQ の最大値を M，最小値を m とするとき，
の値を求めよ．
m
楕円 C :
（自治医科大学 2015 ）
(2) C 上の点 z で
z ¡ (2 + 2i) = z + (2 + 2i)
を満たすものを求めよ．
（学習院大学 2015 ）
6
y2
= 1 を C とし，点 P(®; ¯) を ® > 0，¯ > 0
9
を満たす C 上の点とする．点 P における C の接線 ` と x 軸，y 軸との交点
座標平面上の楕円 x2 +
をそれぞれ Q，R とおく．
(1) ` の方程式を ®; ¯ を用いて表せ．
(2) 線分 QR の長さの 2 乗を ® を用いて表せ．
(3) 線分 QR の長さの最小値を求めよ．
9
次の関数を考える．
f1 (x) = x，f2 (x) = x + 1，f3 (x) = x ¡ 1，f4 (x) = x2 ¡ 1 (x 5 0)，
1
x
x
f5 (x) =
，f6 (x) =
，f7 (x) =
，f8 (x) =
1
¡
x
1
¡
x
x
+
1
B
x + 1，
p
f9 (x) = ¡ x + 1
(1) f4 ¡1 (x) = f
（群馬大学 2015 ）
(2) (f2 ± f3 )(x) = f
(f2 ± f
7
y2
= 1 を C とし，点 P(®; ¯) を ® > 0，¯ > 0
9
を満たす C 上の点とする．点 P における C の接線 ` と x 軸，y 軸との交点
座標平面上の楕円 x2 +
ア
エ
(x) であり，f6 ¡1 (x) = f
ウ
)(x) = f
(x)，(f3 ± f5 )(x) = f
オ
<y5
コ
(x) であり，
エ
(x) である．
(3) 合成関数 y = (f6 ± f9 )(x) の定義域は x =
クケ
(x) である．
イ
カキ
であり，値域は
である．
（金沢工業大学 2014 ）
をそれぞれ Q，R とおく．
(1) ` の方程式を ®; ¯ を用いて表せ．
y2
x2
¡
= 1 が表す双曲線 C と点 P(a; 0) が
9
4
ある．ただし，a > 3 とする．点 P を通り y 軸に平行な直線と双曲線 C と
10 座標平面において，方程式
(2) 線分 QR の長さの 2 乗を ® を用いて表せ．
(3) 線分 QR の長さの最小値を求めよ．
の交点の一つである点 Q(a; b) をとる．ただし，b > 0 とする．さらに，点
（群馬大学 2015 ）
Q における双曲線 C の接線 ` と x 軸との交点を R(c; 0) とする．このとき，
次の問いに答えなさい．
8
a; b を実数とし，i を虚数単位とする．複素数 x = a + bi が等式
#1 ¡
p
p
104
i
i
3
3
;x ¡ 8 +
i=$
¡ <
2
2
2
2
を満たしているとき，a =
キ
，b =
ク
(1) a を用いて b を表しなさい．
(2) a を用いて接線 ` の方程式を表しなさい．
である．
（東邦大学 2015 ）
(3) a を用いて c を表しなさい．
PQ
(4) 極限値 lim
を求めなさい．
a!1 PR
（山口大学 2014 ）
11 点 (p; 0) を通り，楕円 4x2 +y2 = 4 に接する直線の方程式は y =
よび y =
16
で，接点の x 座標は x =
17
お
15
である．また，p =
18
のとき，2 つの接線は直交する．ここで，p は実数で p > 2 とする．
（久留米大学 2014 ）
12 次の問に答えよ．
(1) 点 (¡p; 0)（ただし，p > 0 ）から放物線 y2 = 4x に引いた，傾きが負の
接線の方程式を求めよ．
(2) (1) で求めた接線と，x 軸および放物線 y2 = 4x で囲まれる図形の面積が
16
となるときの p の値を求めよ．
3
（東京都市大学 2014 ）
y2
= 1，C2 を直線 y = 2ax ¡ 3a とする．
a2
このとき，以下の問いに答えよ．
13 a > 0 とする．C1 を曲線 x2 +
(1) 点 P が C1 上を動き，点 Q が C2 上を動くとき，線分 PQ の長さの最小値を
f(a) とする．f(a) を a を用いて表せ．
(2) 極限値 lim f(a) を求めよ．
a!1
（大阪大学 2012 ）

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