年 番号 1 xy 平面において,次の式が表す曲線を C とする. x2 + 4y2 = 1; x > 0; 4 y>0 氏名 p 3 3 曲線 C : = 36 (x > 0) 上の点 P $ ; y1 < が第 1 象限にある. 2 点 P における曲線 C の接線を ` とする. 4x2 + 9y2 (1) y1 の値を求めなさい. P を C 上の点とする.P で C に接する直線を ` とし,P を通り ` と垂直な直 (2) 接線 ` の方程式を求めなさい. 線を m として,x 軸と y 軸と m で囲まれてできる三角形の面積を S とする. (3) 接線 ` と x 軸との交点の x 座標を求めなさい. P が C 上の点全体を動くとき,S の最大値とそのときの P の座標を求めよ. (4) 曲線 C,接線 `,x 軸で囲まれた部分の面積 S を求めなさい. ( 東北大学 2015 ) ( 大分大学 2015 ) p 2 ( 新課程履修者)複素数平面上に原点 O(0) と点 A(1 + 3i) がある.ただ 5 ( 新課程履修者)a > 0 とする.複素平面上で等式 し,i を虚数単位とする.このとき,次の問に答えよ. p (1) 複素数 1 + 3i を極形式で表せ.ただし,偏角 µ は 0 5 µ < 2¼ とする. ¼ だけ回転した点を表す複素数を求めよ. (2) 点 A を原点のまわりに ¡ 3 (3) 虚軸上の点 B(z) が OB = AB を満たすとき,複素数 z を求めよ. を満たす点 z 全体の表す図形を C とする.ただし,i は虚数単位で,z は z (4) (3) で求めた B(z) に対して,3 点 O,A,B を通る円の中心を表す複素数 と共役な複素数を表す. を求めよ. z¡z 2i (1) z = x + iy と表すとき,C の方程式を y = f(x) の形で表せ. ( 香川大学 2015 ) 3 z ¡ ia = y2 x2 + = 1 と直線 L : x ¡ 2y + 10 = 0 について考える.楕 9 4 円 C 上の点 P から直線 L に下ろした垂線と直線 L の交点を Q とする.線分 M PQ の最大値を M,最小値を m とするとき, の値を求めよ. m 楕円 C : ( 自治医科大学 2015 ) (2) C 上の点 z で z ¡ (2 + 2i) = z + (2 + 2i) を満たすものを求めよ. ( 学習院大学 2015 ) 6 y2 = 1 を C とし ,点 P(®; ¯) を ® > 0,¯ > 0 9 を満たす C 上の点とする.点 P における C の接線 ` と x 軸,y 軸との交点 座標平面上の楕円 x2 + をそれぞれ Q,R とおく. (1) ` の方程式を ®; ¯ を用いて表せ. (2) 線分 QR の長さの 2 乗を ® を用いて表せ. (3) 線分 QR の長さの最小値を求めよ. 9 次の関数を考える. f1 (x) = x,f2 (x) = x + 1,f3 (x) = x ¡ 1,f4 (x) = x2 ¡ 1 (x 5 0), 1 x x f5 (x) = ,f6 (x) = ,f7 (x) = ,f8 (x) = 1 ¡ x 1 ¡ x x + 1 B x + 1, p f9 (x) = ¡ x + 1 (1) f4 ¡1 (x) = f ( 群馬大学 2015 ) (2) (f2 ± f3 )(x) = f (f2 ± f 7 y2 = 1 を C とし ,点 P(®; ¯) を ® > 0,¯ > 0 9 を満たす C 上の点とする.点 P における C の接線 ` と x 軸,y 軸との交点 座標平面上の楕円 x2 + ア エ (x) であり,f6 ¡1 (x) = f ウ )(x) = f (x),(f3 ± f5 )(x) = f オ <y5 コ (x) であり, エ (x) である. (3) 合成関数 y = (f6 ± f9 )(x) の定義域は x = クケ (x) である. イ カキ であり,値域は である. ( 金沢工業大学 2014 ) をそれぞれ Q,R とおく. (1) ` の方程式を ®; ¯ を用いて表せ. y2 x2 ¡ = 1 が表す双曲線 C と点 P(a; 0) が 9 4 ある.ただし ,a > 3 とする.点 P を通り y 軸に平行な直線と双曲線 C と 10 座標平面において,方程式 (2) 線分 QR の長さの 2 乗を ® を用いて表せ. (3) 線分 QR の長さの最小値を求めよ. の交点の一つである点 Q(a; b) をとる.ただし,b > 0 とする.さらに,点 ( 群馬大学 2015 ) Q における双曲線 C の接線 ` と x 軸との交点を R(c; 0) とする.このとき, 次の問いに答えなさい. 8 a; b を実数とし,i を虚数単位とする.複素数 x = a + bi が等式 #1 ¡ p p 104 i i 3 3 ;x ¡ 8 + i=$ ¡ < 2 2 2 2 を満たしているとき,a = キ ,b = ク (1) a を用いて b を表しなさい. (2) a を用いて接線 ` の方程式を表しなさい. である. ( 東邦大学 2015 ) (3) a を用いて c を表しなさい. PQ (4) 極限値 lim を求めなさい. a!1 PR ( 山口大学 2014 ) 11 点 (p; 0) を通り,楕円 4x2 +y2 = 4 に接する直線の方程式は y = よび y = 16 で,接点の x 座標は x = 17 お 15 である.また,p = 18 のとき,2 つの接線は直交する.ここで,p は実数で p > 2 とする. ( 久留米大学 2014 ) 12 次の問に答えよ. (1) 点 (¡p; 0)(ただし,p > 0 )から放物線 y2 = 4x に引いた,傾きが負の 接線の方程式を求めよ. (2) (1) で求めた接線と,x 軸および放物線 y2 = 4x で囲まれる図形の面積が 16 となるときの p の値を求めよ. 3 ( 東京都市大学 2014 ) y2 = 1,C2 を直線 y = 2ax ¡ 3a とする. a2 このとき,以下の問いに答えよ. 13 a > 0 とする.C1 を曲線 x2 + (1) 点 P が C1 上を動き,点 Q が C2 上を動くとき,線分 PQ の長さの最小値を f(a) とする.f(a) を a を用いて表せ. (2) 極限値 lim f(a) を求めよ. a!1 ( 大阪大学 2012 )
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