(1) Z 1 - SUUGAKU.JP

1
関数 f(x) = log(1 + x2 ) について，次の問いに答えよ．
(1)
Z
1
0
log(1 + x2 ) dx を求めよ．
(2) 導関数 f0 (x) の増減を調べ，y = f0 (x) のグラフの概形をかけ．
(3) 曲線 C : y = f(x) と曲線 C の互いに直交している 2 本の接線とで囲まれる図形の面積 S を求めよ．
（旭川医科大学 2014 ）
2
¼
とし，曲線 y = 1 ¡ cos x (0 5 x 5 a) を C とする．0 < t < a とし，原点と C 上の点
2
(t; 1 ¡ cos t) を通る直線を ` とおくとき，次の問いに答えよ．
0<a5
(1) 曲線 C と直線 ` とで囲まれた部分の面積を S1 (t)，t 5 x 5 a の範囲で C と ` と直線 x = a とで囲まれ
た部分の面積を S2 (t) とおくとき，S1 (t) + S2 (t) を求めよ．
(2) S1 (t) + S2 (t) を最小とする t の値を t0 とするとき，t0 を a を用いて表せ．
(3) lim
a!+0
S1 (t0 ) ¡ S2 (t0 )
a3
a5
a3
<
sin
a
<
a
¡
+
(a > 0) は用いてよい．
を求めよ．ただし，
a
¡
3!
3!
5!
a3
（旭川医科大学 2014 ）
3
a を正の実数とし，f(x) = e¡x sin ax とおくとき，次の問いに答えよ．
(1) n を自然数とする．曲線 y = f(x) $
すとき，An を a と n を用いて表せ．
1
P
(2) S =
An を a を用いて表せ．
2(n ¡ 1)¼
2n¼
< と x 軸で囲まれた部分の面積を An で表
5x5
a
a
n=1
(3) lim S を求めよ．
a!1
（旭川医科大学 2013 ）
4
a を正の実数とし，fn (x) =
Z
x
0
e¡at sin nt dt (n = 1; 2; 3; Ý) とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1) lim fn (x) を求めよ．
x!1
(2) a =
3
とするとき， lim fn (x) が最大となる自然数 n ，およびそのときの最大値を求めよ．
2
x!1
（旭川医科大学 2012 ）
¼
1
; とする．次の問いに答えよ．
¡ tan x #0 5 x <
cos x
2
¼
¼
(1) g(x) を 0 5 x 5
で連続で，0 5 x <
では g(x) = f(x) を満たす関数とする．
2
2
¼
(a) g # ; を求めよ．
2
(b) g(x) の増加，減少を調べよ．
Zx
(c)
g(t) dt を求めよ．
0
Z ¼
Z ¼
2
2
1
¼
(2) n を自然数とし，cn を ¼
g(t) dt =
g(t) dt を満たす 0 と
の間の数とする．次の極限を
n
2
¡cn
0
2
求めよ．
5
f(x) =
(a) lim n(1 ¡ cos cn )
n!1
p
(b) lim ncn
n!1
（旭川医科大学 2011 ）
6
関数 f(x) = sin x #¡
¼
¼
; の逆関数を g(x) (¡1 5 t 5 1) とおくとき，次の問いに答えよ．
5x5
2
2
(1) ¡1 < x < 1 のとき，g0 (x) を x を用いて表せ．
(2) 曲線 y = sin2 x (0 5 x 5 ¼) と直線 y = t (0 < t < 1) の 2 つの交点の x 座標を，それぞれ ®; ¯ (® < ¯)
Z¯
とおくとき，
sin2 x dx を t と関数 g を用いて表せ．
®
Z¯
C
2
(3) h(t) =
sin2 x dx ¡ 1 ¡ t2 (0 < t < 1) とおくとき，h(t) < 0 (0 < t < 1) を示し h(t) を最小
¼ ®
にする t の値を求めよ．
（旭川医科大学 2010 ）
7
¼
; における C の接線と直線 x = a との
曲線 C : y = sin2 x について，C 上の点 (t; sin2 t) #0 5 t 5
2
¼
交点を P とする．ただし，a は 0 5 a 5
を満たす定数とする．このとき，次の問いに答えよ．
2
(1) 点 P の y 座標を f(t) とおくとき，f(t) を求めよ．
(2) 関数 f(t) の増減を調べ，その最大値と最小値を求めよ．
¼
¼
の範囲を動くとき，点 (t; sin2 t) における C の接線が通るすべての点のうち，0 5 x 5
(3) t が 0 5 t 5
2
2
となるものの範囲を xy 平面に図示せよ．
（旭川医科大学 2015 ）
8
次の問いに答えよ．
(1) 関数 y = x log x ¡ x (x > 0) の増減を調べ，そのグラフをかけ．
(2) a を正の実数とする．曲線 C : y = log(x + 1) 上の点 (t; log(t + 1)) における接線 `t が，曲線 Ca :
y = a log x 上の点 (s; a log s) における接線にもなっているとき，t と s の関係を a を含まない式で表せ．
(3) 任意に与えられた t > ¡1 に対して，直線 `t が曲線 Ca の接線にもなっているような a が唯一つ存在する
こと，および a > 1 であることを示せ．
(4) 直線 `t が曲線 Ca の接線になっているとき，その接点の x 座標を s(t) とかくことにする．s(t) を t の関
数とみて増減を調べ，さらに lim (s(t) ¡ t) を求めよ．
t!1
（旭川医科大学 2013 ）
9
曲線 C : y = log x 上に異なる 2 点 A(a; log a)，B(b; log b) をとり，C の A における接線と B におけ
る接線の交点について考える．次の問いに答えよ．
(1) 任意に与えられた a > 1 に対して，2 本の接線の交点がちょうど直線 x = 1 上にくるような b が唯一つだ
け存在し，b < 1 であることを示せ．
1
1
; (a > 1) について，2 本の接線の交点の x 座標が 1 より大きいか小
(2) 2 点 A(a; log a)，B # ; log
a
a
さいかを調べよ．
1
として (2) の結果を使って，次の不等式が成り立つことを示せ．
(3) k を自然数とする．a = 1 +
k
n
P
1
1
1
#1 +
; + log n
>
2
n
k
k=1
(n = 2)
（旭川医科大学 2012 ）
10 曲線 y = eax+b (a = 1) と曲線 y = e¡x が一点で交わり，交点におけるそれぞれの接線が垂直に交わって
いるとする．次の問いに答えよ．
(1) 交点の座標を (x(a); y(a)) とおくとき，b; x(a); y(a) をそれぞれ a を用いて表せ．
(2) 曲線 y = eax+b (a = 1) を C(a) で表す．曲線 C(a) と曲線 C(a + 1) の交点の x 座標を X(a) とおく
とき，
lim (X(a) ¡ x(a))
a!1
を求めよ．
(3) X(a) ¡ x(a) は a = 1 のとき単調減少であることを示せ．
（旭川医科大学 2011 ）

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