(1) fn(x) は fn(x)

1
® Ë 0，¯ Ë 0 として，関数 fn (x) (n = 1; 2; Ý) を
4
f1 (x) = a1 sin ®x + b1 cos ®x
数列 fan g は an > 0 かつ a1 = 3 であるとする．初項から第 n 項までの和 Sn について，
Sn+1 + Sn =
1
(Sn+1 ¡ Sn )2
3
fn+1 (x) = ¯(fn (x) + fn 0 (x))
が成り立つとき，次の問いに答えよ．
と定める．ただし，a1 ，b1 ，®，¯ は実数である．このとき，次の問いに答えよ．
(1) fn (x) は fn (x) = an sin ®x + bn cos ®x（ an ; bn は実数）の形で表されることを示せ．
(2) (1) における an ; bn (n = 1; 2; Ý) について，行列 P を用いて
&
an+1
bn+1
> = P&
an
bn
>
と表すとき，行列 P を求めよ．
p
1
(3) a1 = 0，b1 = 2，® = 3，¯ =
とするとき，f99 (x) を求めよ．
2
(1) S2 と S3 を求めよ．
(2) 数列 fan g のみたす漸化式を求めよ．
(3) 数列 fSn g の一般項を求めよ．
5
¡
!
¡
! ¡!
4ABC において，内部の点を P とし，直線 AP と辺 BC の交点を D とする．PB + 2PC = AP
であるとき，次の問いに答えよ．
¡! ¡! ¡!
(1) AP を AB と AC を用いて表せ．
(2) 比 AP : PD と BD : DC を求めよ．
2
関数 f(x) を f(x) =
k
¡ 1 と定める．ただし，k は正の定数である．このとき，次の問
x+1
いに答えよ．
(1) y = f(x) のグラフが x 軸と交わる点の x 座標を k を用いて表せ．
Z2
(2) S =
f(x) dx を求めよ．
(3) 直線 AP が 4PBC の外接円の中心を通るとする．その外接円の半径を 1 とし，ÎBPC = 120±
とするとき，辺 BC の長さを求めよ．
¡
! ¡
!
(4) (3) と同じ条件のもとで，PB と PC の内積を求めよ．
0
(3) (2) における S を最小にする k と，そのときの S の値を求めよ．
3
数直線上の動点 P はさいころを投げて偶数が出れば +1，奇数が出れば ¡1 移動する．P の最初
6
関数 f(x) = W
¡2x2 + 2x (x = 0)
x2 + 2x
に対して，関数 F(x) を F(x) =
(x < 0)
Z
x
¡3
f(t) dt と定め，
曲線 y = F(x) を C とする．このとき，次の問いに答えよ．
の位置（座標）を P0 = 0 とし，さいころを k 回投げたときの P の位置（座標）を順に P1 ，P2 ，
(1) 関数 F(x) の増減を調べて，¡3 5 x 5 2 の範囲で y = F(x) のグラフの概形をかけ．
Ý，Pk とする．このとき，次の問いに答えよ．
(2) 曲線 C 上の 2 点 P と Q における C の接線の傾きが等しいとし，P，Q の x 座標をそれぞれ a; b
(1) さいころを 4 回投げたとき，P4 = 2 となる確率を求めよ．
(2) さいころを 8 回投げたとき，P8 = n となる確率を n を用いて表せ．ただし，n は ¡8 5 n 5 8
をみたす整数である．
(3) さいころを 4 回投げたとき，P1 + P2 + P3 + P4 が 0 以上となる確率を求めよ．
(4) さいころを 3 回投げたとき，P1 + P2 ¡ P3 の期待値を求めよ．
とする．a が 0 < a < 1 の範囲を動くとき，b のとりうる値の範囲を求めよ．ただし，b < 0 と
する．
(3) 曲線 C 上の 3 点 P，Q，R における C の接線の傾きが等しいとする．P，Q，R の x 座標をそ
れぞれ a; b; c とし，a > b > c であるとする．このとき，a のとりうる値の範囲を求め，さら
に a ¡ b = b ¡ c であるときの a の値を求めよ．
7
座標平面上の原点 O を中心とする半径 1 の半円 C : x2 + y2 = 1 (y > 0) 上の点を P とする．
10 自然数を 2 乗した列を，次のように奇数個ずつの群に分ける．以下の問いに答えよ．
a > 1 に対して x 軸上の定点を A(a; 0) とし，直線 AP と y 軸の交点を Q，Q を通り x 軸に平
行な直線と直線 OP との交点を R とする．このとき，次の問いに答えよ．
f1g;
f4; 9; 16g;
第1群
第2群
f25; 36; 49; 64; 81g; Ý
第3群
(1) 直線 OP が x 軸の正の方向となす角を µ，OR = r とするとき，直線 AQ の方程式を a; µ; r
(1) 625 は第何群の何番目の数か．
を用いて表せ．
(2) 点 P が C 上を動くとき，点 R のえがく曲線の方程式を求めよ．
p
(3) (2) で得られた曲線の a = 2 であるときの概形をかけ．
(2) 第 n 群の最後の数を n の式で表せ．
(3) 第 n 群の最初の数を n の式で表せ．
(4) 第 n 群にあるすべての数の和を n の式で表せ．
8
座標平面上で原点 O を中心とする半径 1 の円の第 1 象限の部分を C とする．曲線 y = f(x) (0 <
x < 1) は第 4 象限にあり，かつすべての x1 (0 < x1 < 1) について，点 (x1 ; f(x1 )) における
接線が C 上の点 (x1 ; y1 ) における C の接線と直交しているとする．曲線 y = f(x) 上の動点
を P とするとき，次の問いに答えよ．
(1) f0 (x) を求めよ．
(2) 点 P における y = f(x) の接線と y 軸との交点を Q とするとき，線分 PQ の長さは常に 1 で
あることを示せ．
(3) x 軸上と y 軸上に 2 辺をもち，線分 OP を対角線とする長方形の面積を S とする．点 P が S を
最大にする位置にあるとき，P は P における曲線の接線と座標軸が交わってできる 2 点の中点
であることを示せ．
(4) f(x) を求めよ．ただし， lim f(x) = 0 であるとする．
x!1¡0
9
1 から n までの番号をつけた n 枚のカードがある．次の問いに答えよ．ただし，n は自然数で
n = 5 とする．
(1) n = 5 とする．5 枚のカードから同時に 2 枚を取り出すとき，取り出した番号の和の期待値を
求めよ．
(2) n を偶数とする．n 枚のカードから同時に k 枚を取り出すとき，取り出した番号の積が偶数で
n
とする．
ある確率を n と k を用いて表せ．ただし，2 5 k 5
2
(3) n を偶数とする．n 枚のカードから同時に 3 枚を取り出すとき，取り出した番号の和が偶数で
ある確率を求めよ．

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