1 A - SUUGAKU.JP

1
A; B は実数で A
11
= 8，B
13
B
a1 = 2;
= 4 であるとする．整数 x; y が
Ax ¢ By = 2 を満たすとき， x + y の最小値とそのときの x; y の
値を求めよ．
C
2 ¡ an
(n = 1; 2; 3; Ý)
によって定義するとき，次の問いに答えよ．
(1) 数列 fµn g の一般項を求めよ．また 0 < µn <
（宮城教育大学 2016 ）
2
an+1 =
辺の長さが 1 の正四面体 OABC に対して，平面 OAB 上の点 P が
¡!
¡! ¡
! ¡
!
2OP ¡ 3AP + PB = 0
が成り立つことを示せ．
F
1 ¡ cos µn
(2) cos µn+1 =
2
示せ．
¼
(n = 1; 2; 3; Ý)
2
(n = 1; 2; 3; Ý) が成り立つことを
(3) 2 cos µn = an (n = 1; 2; 3; Ý) が成り立つことを示せ．
(4) lim an の値を求めよ．
n!1
を満たしている．点 P から平面 OBC に垂線を下ろし，その垂線と平
（宮城教育大学 2016 ）
面 OBC の交点を Q とする．直線 PQ と平面 ABC の交点を R とする．
¡
! ¡!
a = OA;
¡
! ¡!
b = OB;
¡
! ¡!
c = OC
4
とおくとき，次の問いに答えよ．
¡! ¡
!
(1) OP を a ;
¡! ¡
!
(2) PQ を a ;
¡! ¡
!
(3) PR を a ;
¡
!
b を用いて表せ．
¡
! ¡
!
b ; c を用いて表せ．
¡
! ¡
!
b ; c を用いて表せ．
p
1
であるとする．関数 f(x) = x ¡ a log x に
2
ついて次の問いに答えよ．
実数 a は 0 < a <
(1) 関数 y = f(x) の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，
log x
そのグラフの概形をかけ．ただし lim p
= 0 となることを用い
x!1
x
てよい．
(2) 曲線 y = f(x) 上の点 (1; 1) における接線を ` とする．曲線
（宮城教育大学 2016 ）
3
（宮城教育大学 2016 ）
2 つの数列 fµn g; fan g を漸化式
µ1 =
¼
;
4
µn+1 =
¼ ¡ µn
2
y = f(x) は ` と垂直な接線をもつことを示せ．
(n = 1; 2; 3; Ý);
5
点 P は x 座標が正または 0 の範囲で放物線 y = 1 ¡
x2
上を動くと
2
x2
の法線を m として，法線 m
2
¼
; とする．法線 m 上の点 Q は
と x 軸とのなす角を µ #0 < µ 5
2
x2
の表す領域にあるとする．点
PQ = 1 を満たし，不等式 y > 1 ¡
2
Q の軌跡を C とし，次の問いに答えよ．
する．点 P における放物線 y = 1 ¡
(1) 点 P; Q の座標を µ を用いて表せ．
(2) 曲線 C と x 軸との交点の座標を求めよ．
Z
1
(3) 不定積分
dµ を t = cos µ と置換することにより求めよ．
sin µ
Z
Z
1
1
cos µ
(4) 不定積分
dµ，
dµ を t =
と置換する
2
4
sin µ
sin µ
sin µ
ことにより求めよ．
(5) 曲線 C と x 軸および y 軸により囲まれた図形の面積を求めよ．
（宮城教育大学 2016 ）

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