(2014. 6) 平成２７年度大阪府立大学工学域数理システム課程編入学試験専門科目（微積分学，線形代数）試験問題（解答時間 180 分） ——————————————————————————————– 注意 (1) 受験番号を解答用紙の所定欄に記入せよ． (2) 科目名を解答用紙の科目名欄に記入せよ． (3) 解答欄が不足する場合は，新たに解答用紙を配付するので，挙手すること． (4) 試験終了後，この冊子は持ち帰ってはならない．数理システム課程微積分学 1. 次の積分が有限の値となるような a > 0 の範囲を，論証をつけてそれぞれ求めよ． ∞ (1) 1 1 dx xa ∞ (2) 2 1 dx x(log x)a 2. 2 変数関数 f (x, y) は何回でも微分できるとする．さらに， x = r cos θ, y = r sin θ, (r 0, 0 θ < 2π) と変数変換し， g(r, θ) = f (x, y) とおくとき，次の問いに答えよ． (1) 1 階偏導関数 ∂f ∂g ∂g を , , r, θ を用いて表せ． ∂x ∂r ∂θ (2) 2 階偏導関数 ∂2f ∂ 2 g ∂ 2 g ∂ 2 g ∂g ∂g を , , , , , r, θ を用いて表せ． ∂x2 ∂r 2 ∂θ2 ∂r∂θ ∂r ∂θ (3) ∂ 2 g ∂ 2 g ∂ 2 g ∂g ∂g ∂2f ∂2f , , , r, θ を用いて表せ． + を , , ∂x2 ∂y 2 ∂r 2 ∂θ2 ∂r∂θ ∂r ∂θ 3. 第 2 問の変数変換を用いて，二重積分 2 2 I= e−(x +y ) dxdy P の値を求めよ．ここで P = {(x, y) | −∞ < x < ∞, −∞ < y < ∞} （2 次元平面全体）であるとする．数理システム課程線形代数 1. W を 2 つのベクトル ⎛ 1 2 3 4 ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟, ⎠ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ 2 3 4 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ によって生成される R4 の部分空間とするとき，W の直交補空間 W ⊥ の 1 組の基底を求めよ．ただし，R4 は実数上の 4 次元ベクトル空間を表す． 2. 行列式 0 1 2 3 1 0 1 2 2 1 0 1 3 2 1 0 の値を求めよ． 3. A を n × m 行列，B を m × n 行列，C を n 次の実対称行列とするとき，次の問いに答えよ．ただし，tr (M) は正方行列 M のトレースを表す． (1) tr (AB) = tr (BA) が成り立つことを示せ． (2) tr (C 2 ) = 0 ならば，C は零行列となることを示せ． 4. 行列 A を ⎞ 3 2 −2 A=⎝ 2 3 −2 ⎠ −2 −2 3 ⎛ とするとき，次の問いに答えよ． (1) A の固有値，固有ベクトルを求めよ． (2) A を直交行列を用いて対角化せよ．