平成27年度大阪府立大学工学域数理システム課程編入学試験専門科目

(2014. 6)
平成２７年度
大阪府立大学工学域数理システム課程
編入学試験
専門科目
（微積分学，線形代数）
試験問題
（解答時間 180 分）
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注意
(1) 受験番号を解答用紙の所定欄に記入せよ．
(2) 科目名を解答用紙の科目名欄に記入せよ．
(3) 解答欄が不足する場合は，新たに解答用紙を配付するので，挙手すること．
(4) 試験終了後，この冊子は持ち帰ってはならない．
数理システム課程微積分学
1. 次の積分が有限の値となるような a > 0 の範囲を，論証をつけてそれぞれ求
めよ．
∞
(1)
1
1
dx
xa
∞
(2)
2
1
dx
x(log x)a
2. 2 変数関数 f (x, y) は何回でも微分できるとする．さらに，
x = r cos θ,
y = r sin θ,
(r 0, 0 θ < 2π)
と変数変換し， g(r, θ) = f (x, y) とおくとき，次の問いに答えよ．
(1) 1 階偏導関数
∂f
∂g ∂g
を
,
, r, θ を用いて表せ．
∂x
∂r ∂θ
(2) 2 階偏導関数
∂2f
∂ 2 g ∂ 2 g ∂ 2 g ∂g ∂g
を
,
,
,
,
, r, θ を用いて表せ．
∂x2
∂r 2 ∂θ2 ∂r∂θ ∂r ∂θ
(3)
∂ 2 g ∂ 2 g ∂ 2 g ∂g ∂g
∂2f
∂2f
,
,
, r, θ を用いて表せ．
+
を
,
,
∂x2
∂y 2
∂r 2 ∂θ2 ∂r∂θ ∂r ∂θ
3. 第 2 問の変数変換を用いて，二重積分
2
2
I=
e−(x +y ) dxdy
P
の値を求めよ．ここで
P = {(x, y) | −∞ < x < ∞, −∞ < y < ∞} （2 次元平面全体）
であるとする．
数理システム課程線形代数
1. W を 2 つのベクトル
⎛
1
2
3
4
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎛
⎟
⎟
⎟,
⎠
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
2
3
4
1
⎟
⎟
⎟
⎠
によって生成される R4 の部分空間とするとき，W の直交補空間 W ⊥ の 1 組の
基底を求めよ．ただし，R4 は実数上の 4 次元ベクトル空間を表す．
2. 行列式
0
1
2
3
1
0
1
2
2
1
0
1
3
2
1
0
の値を求めよ．
3. A を n × m 行列，B を m × n 行列，C を n 次の実対称行列とするとき，次
の問いに答えよ．ただし，tr (M) は正方行列 M のトレースを表す．
(1) tr (AB) = tr (BA) が成り立つことを示せ．
(2) tr (C 2 ) = 0 ならば，C は零行列となることを示せ．
4. 行列 A を
⎞
3
2 −2
A=⎝ 2
3 −2 ⎠
−2 −2
3
⎛
とするとき，次の問いに答えよ．
(1) A の固有値，固有ベクトルを求めよ．
(2) A を直交行列を用いて対角化せよ．

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