(x > 0) と y = logx (x > 0)

1
a を正の実数とし，p を正の有理数とする．座標平面上の 2 つの曲線 y =
2
axp (x > 0) と y = log x (x > 0) を考える．この 2 つの曲線の共有点が
(1) 関数 g(x) を次のように定める．
1 点のみであるとし，その共有点を Q とする．以下の問いに答えよ．必要で
xp
あれば， lim
= 1 を証明なしに用いてよい．
x!1 log x
(1) a および点 Q の x 座標を p を用いて表せ．
(2) この 2 つの曲線と x 軸で囲まれる図形を，x 軸のまわりに 1 回転してでき
る立体の体積を p を用いて表せ．
n を正の整数とする．以下の問いに答えよ．
cos(¼x) + 1
2
g(x) = W
0
( x > 1 のとき)
1
をみたす x に対し
n
て p 5 f(x) 5 q が成り立つとき，次の不等式を示せ．
f(x) を連続な関数とし，p; q を実数とする． x 5
(3) (2) で得られる立体の体積が 2¼ になるときの p の値を求めよ．
（東京大学 2015 ）
( x 5 1 のとき)
p5n
Z
1
¡1
g(nx)f(x) dx 5 q
(2) 関数 h(x) を次のように定める．
¼
sin(¼x) ( x 5 1 のとき)
2
h(x) = V
0
( x > 1 のとき)
¡
このとき，次の極限を求めよ．
lim n
n!1
2
Z
1
¡1
h(nx) log(1 + ex+1 ) dx
（東京大学 2015 ）
3
1
x¡3
，y =
(x ¡ 1)(x ¡ 3) をそれぞれ
x¡4
4
C1 ，C2 とする．以下の問に答えよ．
座標平面上の点 P(1; 1) を中心とし，原点 O を通る円を C1 とする．k を正
5
k
(x > 0) を C2 とする．C1 と C2 は 2 点で交
x
わるとし，その交点を Q，R とするとき，直線 PQ は x 軸に平行であるとす
(1) 2 曲線 C1 ，C2 の交点をすべて求めよ．
る．点 Q の x 座標を q とし，点 R の x 座標を r とする．次の問いに答えよ．
(2) 2 曲線 C1 ，C2 の概形をかき，C1 と C2 で囲まれた図形の面積を求めよ．
の定数として，曲線 y =
座標平面上の 2 つの曲線 y =
(1) k; q; r の値を求めよ．
（神戸大学 2015 ）
(2) 曲線 C2 と線分 OQ，OR で囲まれた部分の面積 S を求めよ．
Z qC
p
(3) x = 1 + 2 sin µ とおくことにより，定積分
2 ¡ (x ¡ 1)2 dx の値
r
を求めよ．
(4) 円 C1 の原点 O を含まない弧 QR と曲線 C2 で囲まれた図形を，x 軸のまわ
りに 1 回転してできる回転体の体積 V を求めよ．
（広島大学 2015 ）
6
次の問いに答えよ．
p
(1) x = 1 のとき，不等式 2 x > 1 + log x が成り立つことを証明せよ．
4
座標空間の x 軸上に動点 P，Q がある．P，Q は時刻 0 において，原点を出
発する．P は x 軸の正の方向に，Q は x 軸の負の方向に，ともに速さ 1 で動
く．その後，ともに時刻 1 で停止する．点 P，Q を中心とする半径 1 の球を
それぞれ A; B とし，空間で x = ¡1 の部分を C とする．このとき，以下
の問いに答えよ．
(2) 関数 y = x log x (x > 0) のグラフを曲線 C とする．定数 a に対し，曲線
C の接線で点 (a; 0) を通るものは何本あるか．
(3) (2) で定められた曲線 C とその傾き 2 の接線および直線 x = e¡2 で囲まれ
た部分の面積を求めよ．
（名古屋工業大学 2015 ）
(1) 時刻 t (0 5 t 5 1) における立体 (A [ B) \ C の体積 V(t) を求めよ．
(2) V(t) の最大値を求めよ．
（大阪大学 2015 ）

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